A quelle condition le produit de deux nombres complexes est-il-réel (respectivement imaginaire pur)?
. Montrer que
. Développer
.
. Linéariser
un réel.
.
.
.
. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
est un triangle équilatéral.
.
est une symétrie centrale dont on précisera l'affixe du centre.
un point quelconque de ce cercle.
exercice 1
1)
2)
3)
4)
5)
exercice 2
Soient
On a :
Pour que le produit soit réel, il faut et il suffit que la partie imaginaire
![\mathcal{I}m(zz')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{I}m(zz'))
soit nulle, ce qui correspond à
D'où :
De même, pour que le produit soit imaginaire pur, il faut et il suffit que la partie réelle
![\mathcal{R}e(zz')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{R}e(zz'))
soit nulle, ce qui correspond à
exercice 3
On en déduit directement que :
Trouvons le module et l'argument de
![\bullet \text{ Cas 1 : }\cot\dfrac{\theta}{2}>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Cas 1 : }\cot\dfrac{\theta}{2}>0)
. Ce qui correspond à :
Donc :
![\bullet \text{ Cas 2 : }\cot\dfrac{\theta}{2}<0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Cas 2 : }\cot\dfrac{\theta}{2}<0)
. Ce qui correspond à :
Donc :
![\bullet \text{ Cas 3 : }\cot\dfrac{\theta}{2}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Cas 3 : }\cot\dfrac{\theta}{2}=0)
. Ce qui correspond à :
Donc
exercice 4
On a:
Il s'ensuit que
Donc :
exercice 5
1) Les racines cinquièmes de
![-i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-i)
sont solutions de l'équation
On a :
Les racines sont donc
Ce qui donne
On en déduit les racines cinquièmes de
![-i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-i)
:
2) On a:
Les racines sixièmes de
![-i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-i)
sont solutions de l'équation
Les racines sont donc
Ce qui donne
On en déduit les racines :
3)
Trouvons
On a :
On obtient :
Les racines carrées de
![476+480i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?476+480i)
sont donc
![24+10i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?24+10i)
et
Cherchons de la même manière les racines carrées de chacune d'elles :
Les racines carrées de
Posons
On obtient :
Les racines carrées de
![24+10i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?24+10i)
sont donc
![5+i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5+i)
et
Les racines carrées de
Posons
On a :
On en déduit directement que
![i(-5-i)=1-5i \text{ et }i(5+i)=-1+5i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i(-5-i)=1-5i \text{ et }i(5+i)=-1+5i)
sont les racines carrées de
Conclusion :
Les racines quatrièmes de
![476+480i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?476+480i)
sont :
exercice 6
1) Les expressions de
On a :
En identifiant les parties réelle et imaginaire :
Or :
On conclut :
2) Pour
exercice 7
Pour
exercice 8
1) Soit
![p\in\N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p\in\N)
. D'après les formules d'Euler, on a :
D'où, en utilisant la formule du binôme de Newton :
On décompose en deux sommes comme suit :
Effectuons le changement d'indice
![t=2p+1-k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t=2p+1-k)
dans la dernière somme :
L'indice
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
étant muet, on peut le remplacer par
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
, ainsi, en regroupant les deux sommes :
2) Soit
![p\in\N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p\in\N)
. D'après les formules d'Euler, on a :
D'où, en utilisant la formule du binôme de Newton :
On décompose en deux sommes comme suit :
Effectuons le changement d'indice
![t=2p+1-k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t=2p+1-k)
dans la dernière somme :
L'indice
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
étant muet, on peut le remplacer par
![k](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k)
, ainsi, en regroupant les deux sommes :
Car :
exercice 9
1) Le discriminant est
Les racines carrées de
![\Delta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta)
sont donc
![12+8i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?12+8i)
et
L'équation possède donc deux solutions :
2) Le discriminant est
Posons
On en tire les racines du discriminant
L'équation possède donc deux solutions :
3) On pose
![Z=z^4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Z=z^4)
, on obtient l'équation
![Z^2+4Z+16=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Z^2+4Z+16=0)
de discriminant
L'équation en
![Z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Z)
possède donc deux solutions complexes conjuguées :
On cherche alors les solutions des deux équations :
![z^4=Z_1 \text{ et }z^4=Z_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z^4=Z_1 \text{ et }z^4=Z_2)
.
Les racines quatrièmes de
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
étant
![1,i,-1\text{ et }-i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1,i,-1\text{ et }-i)
, on en déduit que :
De plus,
On en déduit que :
L'équation en
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
possède alors huit solutions :
4- On factorise
Il suffit donc de déterminer les racines de chacun des deux polynômes.
Le discriminant du premier est
![\Delta=-3+4i=(1+2i)^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta=-3+4i=(1+2i)^2)
, ses racines sont donc:
De même, le discriminant du second
![\Delta'=-3-4i=(1-2i)^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta'=-3-4i=(1-2i)^2)
, on en déduit ses racines :
Conclusion :
exercice 10
On a :
En factorisant par l'angle moitié :
On en déduit :
exercice 11
On a :
Et :
Puisque
Les solutions de cette équation sont :
Il faut étudier les parties imaginaires pour déterminer la solution qui correspond à
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
et celle qui correspond à
On a
Puisque :
On en déduit que :
exercice 12
1) Fait en exercice 6 :
2) Si
Et puisque
![\cos\dfrac{\pi}{10}\neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\cos\dfrac{\pi}{10}\neq 0)
, alors :
3) Notons
![t=X^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t=X^2)
et cherchons les racines de
Le discriminant est
Les racines carrées sont donc
Or,
On en déduit que :
Enfin, on a pour
Donc :
exercice 13
1)
2) ![\text{ Soit } \omega\in\C \text{ tel que } \omega^2=zz'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Soit } \omega\in\C \text{ tel que } \omega^2=zz')
, on a :
exercice 14
Le complexe nul n'ayant pas d'argument, on considère que
![z\not=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z\not=0)
et
Pour
Or, on sait que
Donc l'ensemble des solutions est à première vue :
La réciproque :
On a :
Alors
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
Soit
![z\in \mathbb{U}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z\in \mathbb{U})
, alors
On a:
On conclut que :
exercice 15
On avait vu dans le cours que
Montrons que cette propriété reste valable dans le cas général, c'est-à-dire, montrons que :
Par récurrence :
Pour
![n=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n=2)
, vrai d'après le cours.
Soit la propriété vraie pour un entier
![n\geq 1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\geq 1)
, et on choisit
On a :
Il s'ensuit que toutes ces expressions sont égales et en particulier :
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
De
Il existe donc d'après l'hypothèse
![\bullet](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet)
De
![\text{ (II) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ (II) })
, on déduit :
De
Notons
On a donc :
L'hypothèse est donc vraie pour
Conclusion :
exercice 16
1) On a :
2)
Où
![J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J)
et
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
sont les points d'affixes respectives
![i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?i)
et
3)
En posant
![z=x+iy \text{( avec } x,y\in\R )](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z=x+iy \text{( avec } x,y\in\R ))
, on obtient :
4)
Notons
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
l'origine du plan complexe et
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
le point d'affixe
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
. On a :
exercice 17
Posons
![a=\text{e}^{i\theta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a=\text{e}^{i\theta})
.
Soit
![k\in\lbrace 0,\cdots, n-1\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k\in\lbrace 0,\cdots, n-1\rbrace)
, on a
![z_k=\exp\left(i\dfrac{2k\pi+\theta}{n}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_k=\exp\left(i\dfrac{2k\pi+\theta}{n}\right))
. En effet :
Donc :
Il s'ensuit :
Tous les points d'affixes
![(1+z_k)^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(1+z_k)^n)
sont donc situés sur la droite qui fait un angle
![\dfrac{\theta}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{\theta}{2})
avec l'axe des abscisses.
Conclusion :
exercice 18
exercice 19
Soit
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
d'affixe
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
, on note
![M_1(z_1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M_1(z_1))
l'image de
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
par
![r_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r_1)
et
![M'(z')](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M'(z'))
l'image de
![M_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M_1)
par
![r_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?r_2)
. On a alors :
On en déduit :
On reconnaît la rotation d'angle
![\arg(-1)\equiv \pi\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg(-1)\equiv \pi\enskip [2\pi])
et de centre
![\Omega](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Omega)
d'affixe
Or, on sait qu'une rotation d'angle
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
est une symétrie centrale.
Conclusion :
exercice 20
Puisqu'on a invariance par translation et par rotation de centre le centre du cercle, on peut supposer que le cercle est de centre
![O](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?O)
et que les sommets du polygone sont les images des nombres complexes
Pour tout point
![M](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?M)
du cercle, d'affixe
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
et donc de module
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
, on a :
Or, la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle, donc :
On en déduit que :
![\boxed{f(M)=2nR^2 \text{ , qui est bien indépendant du choix du point M sur le cercle }}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f(M)=2nR^2 \text{ , qui est bien indépendant du choix du point M sur le cercle }})