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calcul d une limite

Posté par (invité) 06-07-04 à 14:26

calculer la limite en  0 de    

(x.sin(x)) / (1-cos(x))

je retombre tjs sur une FI !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : calcul d une limite 06-07-04 à 15:01

Facile en utilisant un règle qui malheureusement n'est pas enseignée,
je pense en 1ère.

lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] de la forme 0/0 -> application de la
règle de Lhospital.

lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(sin(x)+x.cos(x))/sin(x)]
de la forme 0/0 -> application de la règle de Lhospital.

lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(cos(x) + cos(x) - x.sin(x))/cos(x)]
= (1+1)/1 = 2
------
Autre façon.

Par les développements limités (pas non plus connus en 1ère ?)

DL de sin(x) :  x - x³/6
DL de x.sin(x) : x² - (x^4)/6

DL de cos(x): 1 - x²/2
DL de 1 - cos(x): x²/2

lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(x²-(x^4)/6)/(x²/2)] =
  lim(x-> 0) [(x²)/(x²/2)] = 2
-----
Sauf distraction.    



Posté par lolo (invité)re : calcul d une limite 06-07-04 à 16:42

salut
je pense effectivement mon chèr JP que les DL et Lhospital(par moment
ça devrait être:.... l'hôpital tellement ça sert.... )
ne sont pas au prog de 1ère  malheureusement

dans notre cas peut être qu'un petit coup d'expression conjuguée
ferait l'affaire
genre multiplier en ht et en bas par (1+cos(x) )
ensuite en bas il apparait 1-cos²(x) soit sin²x
tu simplifie
tu bidouilles encore un peu pour faire apparaitre la limite connue en
0             lim    sin(x) /x =1
et c fini
bonne chance

Posté par
Nightmare
re : calcul d une limite 06-07-04 à 16:57

Lol , je doit avouer que j'adore l'explication de lolo
:

"qu'un petit coup d'expression conjuguée
ferait l'affaire "

"tu bidouilles encore un peu "

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : calcul d une limite 06-07-04 à 18:07

C'est vrai qu'il y a de multiples façons d'y arriver.

Celle de lolo:
(x.sin(x)) / (1-cos(x))
= (x.sin(x))(1+cos(x) / [(1-cos(x)) (1+cos(x)]
= (x.sin(x))(1+cos(x) / (1-cos²(x))
= (x.sin(x))(1+cos(x) / sin²(x)
= x(1+cos(x) / sin(x)
= [x/sin(x)].(1+cos(x))

lim(x->0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x)) ] = lim(x->0)  [x/sin(x)].(1+cos(x)) = lim(x->0)
  [x/sin(x)].lim(x->0) [(1+cos(x)]

Et comme lim(x->0)  [x/sin(x)] = 1, on a:
lim(x->0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x)) ] = lim(x->0) [(1+cos(x)] = 2
-----
A+  

Et on remarque, que quelle que soit la manière, la solution est la même.
(Encore heureux).  

  





Posté par walid (invité)re : calcul d une limite 31-07-04 à 19:02

je suis tout a fait d'accord avec lolo ,tu peux suivre ces regles
et tu vas la trouver
lim sinx/x=1
x-0

lim tanx/x=1
x-

lim 1-cosx²/x²=1/2
bonne chance mon ami



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