calculer la limite en 0 de
(x.sin(x)) / (1-cos(x))
je retombre tjs sur une FI !
Facile en utilisant un règle qui malheureusement n'est pas enseignée,
je pense en 1ère.
lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] de la forme 0/0 -> application de la
règle de Lhospital.
lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(sin(x)+x.cos(x))/sin(x)]
de la forme 0/0 -> application de la règle de Lhospital.
lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(cos(x) + cos(x) - x.sin(x))/cos(x)]
= (1+1)/1 = 2
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Autre façon.
Par les développements limités (pas non plus connus en 1ère ?)
DL de sin(x) : x - x³/6
DL de x.sin(x) : x² - (x^4)/6
DL de cos(x): 1 - x²/2
DL de 1 - cos(x): x²/2
lim(x-> 0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x))] = lim(x-> 0) [(x²-(x^4)/6)/(x²/2)] =
lim(x-> 0) [(x²)/(x²/2)] = 2
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Sauf distraction.
salut
je pense effectivement mon chèr JP que les DL et Lhospital(par moment
ça devrait être:.... l'hôpital tellement ça sert.... )
ne sont pas au prog de 1ère malheureusement
dans notre cas peut être qu'un petit coup d'expression conjuguée
ferait l'affaire
genre multiplier en ht et en bas par (1+cos(x) )
ensuite en bas il apparait 1-cos²(x) soit sin²x
tu simplifie
tu bidouilles encore un peu pour faire apparaitre la limite connue en
0 lim sin(x) /x =1
et c fini
bonne chance
Lol , je doit avouer que j'adore l'explication de lolo
:
"qu'un petit coup d'expression conjuguée
ferait l'affaire "
"tu bidouilles encore un peu "
C'est vrai qu'il y a de multiples façons d'y arriver.
Celle de lolo:
(x.sin(x)) / (1-cos(x))
= (x.sin(x))(1+cos(x) / [(1-cos(x)) (1+cos(x)]
= (x.sin(x))(1+cos(x) / (1-cos²(x))
= (x.sin(x))(1+cos(x) / sin²(x)
= x(1+cos(x) / sin(x)
= [x/sin(x)].(1+cos(x))
lim(x->0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x)) ] = lim(x->0) [x/sin(x)].(1+cos(x)) = lim(x->0)
[x/sin(x)].lim(x->0) [(1+cos(x)]
Et comme lim(x->0) [x/sin(x)] = 1, on a:
lim(x->0) [(x.sin(x)) / (1-cos(x)) ] = lim(x->0) [(1+cos(x)] = 2
-----
A+
Et on remarque, que quelle que soit la manière, la solution est la même.
(Encore heureux).
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