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calcul d'une limite

Posté par
wingsofiane
24-12-11 à 17:28

On nous a demandé de calculer la limite suivante:
lim x→-1 (√(x²+x)-x-1) ÷ x²+3x+2
Puisqu'il y a une racine j'ai pensé à une forme conjuguée alors voilà ma démarche :

[√(x²+x) - (x+1)][√(x²+x) + (x+1)] ÷ (x+1)(x+2)[√(x²+x) + (x+1)] =

[√(x²+x)² - (x+1)²] ÷ (x+1)(x+2)[√(x²+x) + (x+1)] =

-x -1 ÷ (x+1)(x+2)[√(x²+x) + (x+1)] =

- (x+1) ÷ (x+1)(x+2)[√(x²+x) + (x+1)]= je simplifie le (x+1) du haut et du bas

-1 ÷ (x+2)[√(x²+x) + (x+1)] et là je me suis arrété et je sais pas si ma demarche

est la bonne alors aidez-moi si il vous plait. Merci d'avance

Posté par
Priam
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 17:32

Une idée : poser  x + 1 = t  (t ---> 0).

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 17:40

Mais je viens de simplifier le (x+1) il n'y est plus pourquoi remplacer pae t ?. Mon probleme c'est que je ne sais pas comment proceder pour trouver la limite avec -1 ÷ (x+2)[√(x²+x) + (x+1)] si je remplace par -1 je trouve -1 ÷ 0 .Je suppose qu'il faut trouver si le 0 est - ou + il faut donc que je calcuke avec x→-1- et x→-1+.Mais là je sais pas comment on calcul ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 18:07

Ben si tu trouves -1/0 (avec un dénominateur positif) c'est que ça tend vers -

la fonction est comme ça :
calcul d\'une limite

Posté par
Glapion Moderateur
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 18:09

x→-1+ ça ne risque pas, la fonction n'est pas définie entre -1 et 0, le x²+x qui est dans la racine est négatif dans cet intervalle.

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 18:12

mais je dois resoudre par calcul et c'est faux de dire que -1/0=- car le denominateur peut tendre vers 0 par valeurs negatives ou pas valeurs positives c'est ce que je cherche à savoir mais je ne sais pas comment le determiner c'est le but de toute mes question c'est ça ce que je n'arrive pas a trouver

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 24-12-11 à 18:15

desole galpion je n'avais pas vu ce que tu viens de me dire.mais si je comprends bien si au moins une partie de l'intervalle audessu de -1 n'est pas possible ,donc x→-1+ n'est plus possbile?

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 11:38

ça ne m'indique comment calculer la limite ,je ne cherche pas le resultat qui est claire lorsqu'on observe le graphique.Je repose la question comment calculer la limite avec x→-1-?Quelle est la methode?

Posté par
Priam
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 13:21

L'expression donnée est-elle   [(x² - x) - x - 1]/(x² + 3x + 2) ?

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 14:54

Oui c'est bien l'expression initiale mais j'ai du lever l'indétermination ,apres calcul j'obtient cette expression -1 ÷ (x+2)[√(x²+x) + (x+1)].Je n'aurai pas du arriver a ce resultat?Si c'est le bon ,comment calculer ma limite avec -1-

Posté par
Glapion Moderateur
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 17:53

tu remplaces x par -1, le dénominateur tend vers 0 en restant positif donc le quotient tend vers -. Il n'y a aucune indétermination.

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 19:14

Oui mais si on remplace le x par -1 tout court on obtient -1/0 .Tu dis que le denominateur reste positif justement comment le prouver ?Si il s'agit d'un calcul lequel?

Posté par
Glapion Moderateur
re : calcul d'une limite 25-12-11 à 19:17

(x+2)[√(x²+x) + (x+1)]
x+2 est positif, la racine aussi et x+1 aussi puisque x tend vers -1 par la gauche. donc le tout est positif.

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 26-12-11 à 00:10

Je viens de voir que lorsqu'on est dans ce type de situation ,il faut faire un tableau de signe ,mais savez-vous comment deduire le signe de √(x²+x) + (x+1)

Posté par
Glapion Moderateur
re : calcul d'une limite 26-12-11 à 13:20

ha oui je n'avais pas vu, x+1 n'est pas positif puisque x tend vers 1 par la gauche. Donc il faut résoudre √(x²+x) + (x+1)>0 par exemple
√(x²+x)>-x-1 comme -x-1 est positif on peut élever au carré x²+x>(-x-1)² x+1<0 et ça on sait que c'est vrai.

Posté par
wingsofiane
re : calcul d'une limite 26-12-11 à 16:40

Ah oui , j'avais un doute pour mettre au carré ,j'avais oublier que -1 ne tend que par la gauche.
Là on peut deduire ceci
si x+1>0 donc √(x²+x) + (x+1) <0
si x+1<0 donc √(x²+x) + (x+1) >0
si on concilie ceci avec le signe de x+2 on obtient
x                              -      -2      -1  

(x+2)[√(x²+x) + (x+1)]     -     0   +   0

On conclut que lorsque x tend vers -1-,(x+2)[√(x²+x) + (x+1)] tend vers o+
alors -1/0+=-

J'ai enfin resolu mon exo merci beaucoup de votre aide Galpion et priam.




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