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Calculer des différences

Posté par
alexhdmt
28-05-23 à 15:47

Bonjour,
"u et v sont les suites définies sur par:
un= n  et vn= \sqrt{n+1}.
La différence vn-un peut-elle devenir aussi proche de 0 que l'on veut?"

J'ai répondu mais j'aimerai savoir si c'est correct:
D'après l'énoncé, on cherche à savoir s'il est possible que vn-un soit égal à zéro.
Démonstration par l'absurde:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0
n+1-n=0
1=0
Ainsi cette affirmation est fausse.

Merci pour vos retours!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calculer des différences 28-05-23 à 15:59

Bonjour

Tu as juste démontré que v_n-u_n \neq 0 ce qui était évident.
Ce qu'on te demande: cette différence peut-elle devenir aussi petite que l'on veut? Ca veut dire qu'on te demande si elle tend vers 0.
Suggestion: multiplie et divise par la quantité conjuguée.

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 28-05-23 à 16:26

Le plus proche de 0, c'est bien 0 donc si je démontre que l'on ne peut pas obtenir 0 forcément je réponds à la question?
Sinon avec la quantité conjuguée, j'obtiens:
vn-un= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
donc pour n entier naturel: vn-un>0

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calculer des différences 29-05-23 à 15:12

Non, on te demande de montrer que v_n-u_n tend vers 0.
Par exemple, 1/n > 0 et tend vers 0.
Ton calcul de v_n-u_n est correct. Qu'en déduis-tu?

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 29-05-23 à 15:16

Mais si on cherche à savoir si on peut obtenir une différence aussi petite que l'on veut, je ne vois pas pourquoi on excluerait la valeur 0. Si je souhaite que cette différence soit de 0, c'est bien choisir la différence la plus petite qui soit, non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calculer des différences 29-05-23 à 15:27

NON. C'est la définition d'une limite. On n'exclut pas 0, il se peut qu'il apparaisse, , mais ce n'est pas nécessaire.

Regarde que devient x_n-y_n dans les cas suivants:

x_n=(n+1)^2,\  y_n=n^2
x_n=2n+2, \ y_n=2n
x_n=\sqrt{n+1}, y_n=\sqrt n (c'est celui de cet exercice)

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 29-05-23 à 18:25

Donc s'il se peut qu'il apparaisse mais que je démontre que vn-un0 alors cette différence ne peut pas être aussi proche de 0 que l'on veut puisque 0 est forcément exclu?

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 30-05-23 à 08:05

Attendez, je viens de relire votre dernier message. Si la limite est 0, vous voulez dire que l'on n'a pas la certitude que 0 existe, donc on doit montrer que la différence peut être toutes les autres valeurs approchant de 0, c'est bien cela?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 30-05-23 à 08:28

Bonjour,
La différence peut être inférieure à toute valeur approchant de 0.
Commencer avec un exemple de valeur pourrait peut-être t'éclairer.
Saurais-tu trouver un entier n tel que \sqrt{n+1}-\sqrt{n} < 0,001 ?

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 01-06-23 à 18:49

En résolvant l'inéquation je trouve:
n>249999.5
donc c'est inéquation est vrai pour n 250000.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 01-06-23 à 19:21

D'accord.
Tu as compris que la question posée " aussi proche de 0 que l'on veut " ne signifie pas que l'on veut 0.
Elle demande si avec n'importe quelle autre valeur strictement positive à la place de 0,001 on peut trouver un n.
On n'est pas obligé de trouver tous les n comme tu l'as fait.

Je vais être moins perfectionniste que toi :
J'utilise l'indication de Camélia.
v_{n} - u_{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
0,001 = 1/1000.
Pour que \; \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \dfrac{1}{1000} \; Il suffit que

\sqrt{n+1}+\sqrt{n} > 1000 .
Ça marche avec n = 10002.

Essaye de généraliser avec un réel a strictement positif quelconque.

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 01-06-23 à 19:37

Pouvez-vous m'expliquer pourquoi on choisi la valeur 0.001 en particulier?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 01-06-23 à 20:45

J'ai voulu te faire travailler sur un exemple.
J'aurais pu choisir 0,000002023.
Ce ne sont que des exemples pour essayer de comprendre comment traiter le cas général : Un réel a avec a > 0.

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 03-06-23 à 16:39

Je dois avouer que j'ai complètement perdu le fil de ce qu'il faut faire
que dois-je réaliser avec:
vn-un= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ?
Que c'est une fonction inverse donc plus n est grand plus on obtient une valeur proche de 0?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 03-06-23 à 17:52

Oui, on peut préciser avec \; a > 0 \; :

\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < a \Leftrightarrow \sqrt{n+1}+\sqrt{n} >\dfrac{1}{a} .

Il suffit donc que \; \sqrt{n} >\dfrac{1}{a} .
Ce qui est équivalent à \; n > \left( \dfrac{1}{a}\right)^{2}

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 03-06-23 à 18:13

\sqrt{n}> \frac{1}{a}
comment avez-vous fait pour faire disparaître \sqrt{n+1}?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 03-06-23 à 18:28

On a \; \; \sqrt{n+1} + \sqrt{n} > \sqrt{n} .

Donc si \; \sqrt{n}> \dfrac{1}{a} \; alors \; \sqrt{n+1} + \sqrt{n} >  \dfrac{1}{a} .

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 05-06-23 à 21:20

D'accord mais pourquoi chercher:
vn-un<a ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 05-06-23 à 22:48

Pour montrer qu'on peut trouver n même si a est très proche de 0.
Rappel de la question :
La différence vn-un peut-elle devenir aussi proche de 0 que l'on veut?

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 07-06-23 à 10:15

Donc cela revient à chercher:

0<vn-un<a?

et pour n>(\frac{1}{a})²
Est-ce vraiment utile d'en arriver à cette conclusion en sachant que
n et a sont 2 inconnues qui restent irrésolues?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 07-06-23 à 11:53

Il ne s'agit pas de résoudre.
Il s'agit de montrer que la différence \; vn-un \; peut devenir aussi proche de 0 que l'on veut.
Étant donné a un réel positif aussi "petit" que l'on veut, dès que \; n >(1/a)2 \; on a \; 0 < vn-un < a .

Si c'est la première fois que tu rencontres ce genre de question, c'est normal que tu sois un peu déboussolé.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 07-06-23 à 11:59

Tu peux remarquer que n > (1/(2a))2 marche aussi.
On ne demande pas de trouver la plus petite valeur de n qui marche, ou toutes les valeurs de n qui marchent, mais seulement de démontrer qu'on peut trouver une valeur qui marche.

Posté par
alexhdmt
re : Calculer des différences 07-06-23 à 14:05

D'accord j'ai bien compris maintenant, merci beaucoup pour votre pédagogie et votre patience!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calculer des différences 07-06-23 à 14:05

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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