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Calculs de barycentres dans une piramide

Posté par fabienleb (invité) 25-10-04 à 16:00

Bonjour à tous et merci d'avance pour votre aire! Cela fait un moment que je bloque sur un exercice de barycentres que je juge plutôt difficle ! Pourriez vous m'aider?



SABCD désigne une piramide régulière à base carrée. O est le centre du carré ABCD et G désigne le milieu [SO] (S étant le sommet).

Il a été démontré precemment que G était le barycentre de (A, 1) (B, 1) (C, 1) (D, 1) et (S, 4).

On appelle A', B', C' et D' les centres de gravités respectifs des triangles BCD, ACD, ABD et ABC.

On définit les points A1, B1, C1 et D1 par :
SA1 = 1/5 SA   , SB1 = 1/5 SB  ,  SC1 = 1/5 SC   et SD1 = 1/5 SD   (je précise que toutes ces valeurs sont des vecteurs)


Démontrer que les droites (A', A1), (B', B1), (C', C1) et (D', D1) sont concourrantes en G.


Merci baucoup à ceux qui essaieront de m'aider !

Posté par
muriel Correcteur
re : Calculs de barycentres dans une piramide 25-10-04 à 16:37

bonjour ,
je te donne le début pour commencer, car après c'est similaire.
tu vaux montrer que G, A' et A_1 sont alignés, donc par exemple que G est barycentre des 2 autres points affectés d'un certains poids.
tu as:
G, le barycentre de (A, 1) (B, 1) (C, 1) (D, 1) et (S, 4)
donc
\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}+4\vec{GS}=\vec{0} (*)

tu veux introduire les points A' et A_1.

tu sais ceci:
A' est centre de gravité de BCD, donc
A' est isobarycentre de B, C, D, c'est à dire:
\vec{A'B}+\vec{A'C}+\vec{A'D}=\vec{0}

en utilisant la relation de Chaslès, où une propriété de ton cours, tu as:
pour tout point M,
\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=3\vec{MA'}

en particulier pour M=G
\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=3\vec{GA'}

ainsi, on a dans (*)
\vec{GA}+\vec{GA'}+4\vec{GS}=\vec{0} (**)

maintenant, on a aussi:
\vec{SA_1}=\frac{1}{5}\vec{SA}
insère par Chaslès, A_1 dans le second membre et multiplie par 5 (j'aime pas les fration ,
tu trouves:
5\vec{SA_1}=\vec{SA_1}+\vec{A_1A}
c'est à dire:
4\vec{A_1S}+\vec{A_1A}=\vec{0}

en procédant de la même manière qu'avant, on a pour tout point M,
4\vec{MS}+\vec{MA}=5\vec{MA_1}

et en particulier pour M=G
4\vec{GS}+\vec{GA}=5\vec{GA_1}

ce qui donne dans (**):

5\vec{GA_1}+\vec{GA'}=\vec{0}
ainsi G est barycentre de (A_1,5) et (A',1)
ce qui prouve l'alignement

maintenant il te reste à faire la même chose pour les autres si tu n'es pas confiant de la chose, sinon tu peut dire pour des raisons similaires on a les autres alignements

à toi de jouer



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