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Calculs de limites : fonction continue et théorème des gendarmes
Bonjour j'ai un DM de mathématiques à rendre et je bloque sur quelques questions.
Si je pourrai avoir un peu d'aide, ce serait très bien.
Voici les questions :
1) Soit la fonction f définie par f(x)= 
x sin(1/x) si x
0
et f(o)=0.
Démontrer que la fonction f est continue en 0 .
Pour cette question j'ai calculé f quand x tend vers 0, de manière à ce que
lim f(x)=f(0)
x
0
j'ai donc : -1
sin (1/x)1
-x sin (1/x) x
Il me reste donc à calculer les limites de -x et de x quand x tend vers 0 mais je trouve mon raisonnement assez faux .
2) Déterminer dans chacun des cas la limite en + de f(x) :
a) f(x) = cos(x) -2x
b) f(x)= (sin(x)+1) / x
Là j'ai fais pour le a) :
-1cosx1
2x
cosx 2x
lim -2x quand x tend vers + = - et limite 2x quand x tend vers += + mais je ne peux pas conclure car je n'ai pas le meme résultat aux deux limites ...
Pour le b) :
-1sinx1
-1/x sinx/x 1/x
-1- 1/x sinx +1 /x 1+1/x
Donc lim -2/x quand x tend vers += 0 ainsi que lim 2/x .
Conclusion f(x)= sin(x)+1/x = 0
Merci pour l'aide 
.
Hello,
1)
Non ton raisonnement n'est pas faux mais il y a quelques rectifications à faire :
-1sin 1/x 1
comme x>0
-xx sin 1/xx
et comme
lim x=0
x0
on aura bien
lim f(x)=f(0)
x0
2)
a)
Ici c'est faux. On part bien de :
cos x 1
puis on ajoute -2x
-1-2x cos x -2x 1- 2x
lorsque x tend vers + 1-2x tend vers - cela suffit pour dire que f(x) tend vers -
b)
Attention si la fonction est (sin x +1)/x et non pas sin x + 1/x il faut ajouter 1 avant de diviser par x.
-1sin x 1
0 sin x +1 2
on supposera x positif puisqu'il doit tendre vers + donc
0 ( sin x +1)/x 2/x
Et comme 2/x tend vers 0 alors f(x) tend ver 0.
Merci beaucoup pour cette aide, et au moins j'ai vraiment compris mes erreurs .
C'est gentil .
Bonne soirée .
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