Fiche de mathématiques
> >

Second degré : forme canonique et factorisation

Partager :


Fiche écrite en 2020



I. Rappels de seconde


A. Définition

Définition
Soit {\magenta{ a}} , b et c trois réels avec  {\magenta{ a}} non nul.
La fonction f définie sur R par f(x) = {\magenta{ a}}x^2+bx+c est appelée fonction polynôme du second degré.
f(x) = {\magenta{ a}}x^2+bx+c est la forme développée du polynôme f(x).
Sa courbe représentative est une parabole P


Par abus de langage, on appelle aussi cette fonction f fonction trinôme.

Forme canonique

Théorème
Pour tout réel x\quad  f(x)={\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta}
{\red{\alpha}} = -\dfrac{b}{2{\magenta{ a}}} et {\blue\beta}=f({\red{\alpha}}) sont l'abscisse et l'ordonnée du sommet S de la parabole P
Cette écriture est la forme canonique du polynôme f(x).


Remarque (utile dans les exercices) : La droite passant par le sommet S et parallèle à l'axe des ordonnées est axe de symétrie de la parabole.

Variation d'une fonction trinôme

Variations de  f

si {\magenta{ a}}> 0 alors le tableau de variation de f est :
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \red{\alpha}} & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{\blue{\beta}}} & \nearrow & & \end{array}

L'extremum {\blue\beta} est le minimum de f, et a lieu en x={\red{\alpha}}

si {\magenta{ a}}< 0 alors le tableau de variation de f est :
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \red{\alpha}} & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \nearrow &_{\blue{\beta}}} & \searrow & & \end{array}

L'extremum {\blue\beta} est le maximum de f, et a lieu en x={\red{\alpha}}



Pour plus de détails, consulter la fiche de seconde.


II. Ecriture sous forme canonique d'un trinôme

c'est à dire pour adifferent0, savoir écrire un trinôme  ax^2+bx+c sous la forme {\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta}
Rappels
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 peut s'écrire aussi a^2+2ab=(a+b)^2-b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 peut s'écrire aussi a^2-2ab=(a-b)^2-b^2


1. Un exemple simple : a=1
Ecrire f(x)=x^2+2x-8 sous forme canonique

\bullet {\white{\text{a}}} Principe : on doit reconnaître sur \red{ x^2+2x} le début d'une identité remarquable.
(x+1)^2={\red{ x^2+2x}}+1
d'où {\red{ x^2+2x}}=(x+1)^2-1

\bullet {\white{\text{a}}} Ainsi : f(x)=x^2+2x-8=(x+1)^2-1-8=(x+1)^2-9
(x+1)^2-9 est bien de la forme {\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta} ; c'est la forme canonique de f(x).

  TESTE-TOI


2. Autre exemple : adifferent1
Ecrire g(x)=3x^2-30x+12 sous forme canonique

\bullet {\white{\text{a}}} On commence par factoriser par a, coefficient de x^2 :
3x^2-30x+12=3({\red{x^2-10x}}+4)

\bullet {\white{\text{a}}} {\red{x^2-10x}} est le début du développement d'une identité remarquable de type (a-b)^2
--> petite astuce : on divise le coefficient de x par 2
(x-\dfrac{10}{2})^2=(x-5)^2={\red{x^2-10x}}+25
d'où : {\red{x^2-10x}}=(x-5)^2-25

\bullet {\white{\text{a}}} Ainsi :
g(x)=3x^2-30x+12=3(x^2-10x+4)=3\left[(x-5)^2-25+4\right]=3\left[ (x-5)^2-21\right]
g(x)=3(x-5)^2-63 qui est la forme canonique de g(x).

  TESTE-TOI


3. Par calcul des coordonnées du sommet de la parabole
Exemple : f(x)=x^2+2x-8

\bullet {\white{\text{a}}} a=1 \;\; b=2\;\; c=-8
\alpha = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac 2 2 = -1 et \beta = f(\alpha)=-9

\bullet {\white{\text{a}}} d'où la forme canonique est : f(x)=1\times\left((x-(-1)\right)^2-9=(x+1)^2-9

  TESTE-TOI


III. Factorisation d'un trinôme

Soit le trinôme P tel que P(x)=ax^2+bx+c avec a different0
Si le trinôme P admet deux racines x1 et x2 (éventuellement confondues), alors :
pour tout réel x, P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)


Remarque :Tous les trinômes ne sont pas factorisables ; pour être factorisable, un polynôme du second degré doit admettre 1 racine double ou 2 racines distinctes.

Plusieurs outils sont disponibles pour essayer de factoriser un trinôme.

1. Outils usuels de la factorisation

\bullet {\white{\text{a}}} Reconnaître une identité remarquable : la factorisation est alors immédiate
exemple : g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2 2 est racine double
\white{wwwwwwwwww}[tex]h(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)

\bullet {\white{\text{a}}} Cas du coefficient constant nul : mise en évidence de facteurs communs
exemple : f(x)=2x^2-4x\quad a=2\quad b=-4\quad c=0
{\white{wwwwwwww}}f(x)=2x(x-2)

\bullet {\white{\text{a}}} Cas du coefficient de x nul
exemple :
j(x)=5x^2+20\quad a=5 \quad b=0 \quad c=20
j(x)=5(x^2+4). Pour cet exemple, on ne peut pas factoriser davantage car x^2+4 n'admet pas de racine réelle.

\bullet {\white{\text{a}}} Dédoublement d'un terme puis regroupement
exemple :
k(x)=x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=(x^2-x)-2x+2=x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x-2)

  TESTE-TOI


2. A partir d'une racine évidente
Rappel
Si alpha est racine de P, alors on peut factoriser P par (x-alpha)
Réciproquement : si on peut factoriser P par (x-alpha) alors alpha est racine de P



exemple 1 : f(x)=x^2+6x-7

\bullet {\white{\text{a}}} 1 est racine évidente car f(1)=0, et ce n'est pas une racine double (sinon, on reconnaîtrait une identité remarquable)
\bullet {\white{\text{a}}} f(x) est donc factorisable par (x-1), soit f(x)=(x-1)(x-x_2) où x2 est la seconde racine
\bullet {\white{\text{a}}} On développe : f(x)=x^2-(1+x_2)x+x_2
\bullet {\white{\text{a}}} Par identification, on trouve x_2=-7
Ainsi, f(x)=(x-1)(x+7) est la forme factorisée de f(x) ; 1 et -7 sont les deux racines.

exemple 2 : P(x)=x^2+2x-3 Appliquons une autre méthode.

\bullet {\white{\text{a}}} par calcul mental, on remarque que P(1)=1^2+2\times 1-3=0 , 1 est donc racine de P.
\bullet {\white{\text{a}}} On peut donc écrire que P(x)=P(x)-P(1)

\bullet
\begin{matrix} P(x)&= & x^2+2x-3 & & \\ P(1)&= & 1^2+2-3 & & \\ -------&- ---- & -------------- & &\text{ par soustraction membre à membre} \\ P(x)-P(1)& = & (x^2-1)+(2x-2)-3-(-3) & & \\ P(x)-0& =& (x+1)(x-1)+2(x-1) & & \\ P(x)& = &(x-1)(x+1+2) & & \\ P(x)&= & (x-1)(x+3) & & \text{ forme factorisée de } P(x)\text{ ; 1 et -3 sont racines de }P \end{matrix}

On aurait pu identifier la seconde racine, à partir de la somme et du produit des racines (ajouter lien)

  TESTE-TOI


3. Factorisation à partir de la forme canonique \underline{{\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta}}

exemple 1 : g(x)=3(x-5)^2-63 on factorise par 3
\white{wwwwwwwwww}g(x)=3\left[(x-5)^2-21\right] , entre les crochets, identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
\white{wwwwwwwwww}g(x)=3 ( x-5-\sqrt{21})(x-5+\sqrt{21}) forme factorisée de g(x)

exemple 2 : f(x)=-(x+1)^2+9
\white{wwwwwwwwww}f(x)=3^2-(x+1)² On reconnait l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
\white{wwwwwwwwww}f(x)=(3-x-1)(3+x+1)
\white{wwwwwwwwww}f(x)=(2-x)(x+4)

exemple 3 : h(x)=2(x-5)^2+1. Il n'est pas possible de factoriser h(x) qui n'a pas de racine.

  TESTE-TOI
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1421 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !