Soit , et trois réels avec non nul.
La fonction définie sur R par est appelée fonction polynôme du second degré.
est la forme développée du polynôme .
Sa courbe représentative est une parabole P
Par abus de langage, on appelle aussi cette fonction f fonction trinôme.
Forme canonique
Théorème
Pour tout réel où et sont l'abscisse et l'ordonnée
du sommet S de la parabole P
Cette écriture est la forme canonique du polynôme .
Remarque (utile dans les exercices) : La droite passant par le sommet S et parallèle à l'axe des ordonnées
est axe de symétrie de la parabole.
c'est à dire pour a0, savoir écrire un trinôme sous la forme
Rappels
peut s'écrire aussi
peut s'écrire aussi
A savoir maîtriser
1. Un exemple simple : a=1 Ecrire sous forme canonique
Principe : on doit reconnaître sur le début d'une identité remarquable.
d'où
Ainsi : est bien de la forme ; c'est la forme
canonique de .
TESTE-TOI
Ecrire les fonctions trinômes suivantes sous la forme canonique
a. b.
Corrige-toi
a. sur , on reconnait le début de l'identité remarquable équivalent à ainsi
b. on reconnait ici l'identité remarquable (x-4)² est bien de la forme avec ainsi la forme canonique de est
2. Autre exemple : a1 Ecrire sous forme canonique
On commence par factoriser par a, coefficient de :
est le début du développement d'une identité remarquable de type --> petite astuce : on divise le coefficient de x par 2 d'où :
Ainsi :
qui est la forme
canonique de .
TESTE-TOI
Ecrire sous forme canonique
Corrige-toi
à écrire sous forme canonique
on factorise -2, le coefficient du terme en x² : d'où ainsi
3. Par calcul des coordonnées du sommet de la parabole Exemple :
et
d'où la forme canonique est :
TESTE-TOI
Ecrire sous forme canonique les fonctions suivantes en utilisant les coordonnées du sommet de leur parabole représentative.
a. b. c.
Corrige-toi
a.
d'où rappel : le sommet de la parabole de f a pour coordonnées
, soit (-1 ; -8)
b. est déjà l?écriture canonique de g(x),
car de la forme, avec
c.
d'où
III. Factorisation d'un trinôme
Soit le trinôme P tel que avec a 0
Si le trinôme P admet deux racines x1 et x2 (éventuellement confondues), alors :
pour tout réel x,
Remarque :Tous les trinômes ne sont pas factorisables ; pour être factorisable, un polynôme du second degré
doit admettre 1 racine double ou 2 racines distinctes.
Plusieurs outils sont disponibles pour essayer de factoriser un trinôme.
1. Outils usuels de la factorisation
Reconnaître une identité remarquable : la factorisation est alors immédiate
exemple : 2 est racine double
Cas du coefficient constant nul : mise en évidence de facteurs communs exemple :
Cas du coefficient de x nul
exemple :
. Pour cet exemple, on ne peut pas factoriser davantage car n'admet pas
de racine réelle.
Dédoublement d'un terme puis regroupement
exemple :
TESTE-TOI
_
Factoriser le plus possible
a. b. c.
Corrige-toi
a. b. c.
2. A partir d'une racine évidente
Rappel
Si est racine de P, alors on peut factoriser P par (x-)
Réciproquement : si on peut factoriser P par (x-) alors est racine de P
exemple 1 :
1 est racine évidente car f(1)=0, et ce n'est pas une racine double (sinon, on reconnaîtrait une identité remarquable)
f(x) est donc factorisable par (x-1), soit où x2 est la seconde racine
On développe : Par identification, on trouve Ainsi, f(x)=(x-1)(x+7) est la forme factorisée de f(x) ; 1 et -7 sont les deux racines.
exemple 2 : Appliquons une autre méthode.
par calcul mental, on remarque que , 1 est donc racine de P.
On peut donc écrire que
On aurait pu identifier la seconde racine, à partir de la somme et du produit des racines (ajouter lien)
TESTE-TOI
Vérifier que -1 est racine évidente de , puis factoriser
a. par identification
b. par calcul de
Corrige-toi
fonction trinôme avec donc -1 est bien une racine de j
Remarque : -1 n'est pas racine double, puisque n'est pas de la forme Le polynôme admet donc une seconde racine, à déterminer.
a. rappel : la forme factorisée d'un trinôme est or et ; déterminonspar identification
on développe, réduit et ordonne par identification des coefficients, on établit et résout le système :
et on trouve d'où l'on conclut une factorisation
b. puisque , on peut écrire :
3. Factorisation à partir de la forme canonique
exemple 1 : g on factorise par 3
, entre les crochets, identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
forme factorisée de
exemple 2 : On reconnait l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
exemple 3 : . Il n'est pas possible de factoriser qui n'a pas de racine.
TESTE-TOI
Factoriser les formes canoniques suivantes
a. b. c.
Corrige-toi
a.
b.
c.
Publié par malou/carita
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
alors le tableau de variation de 
est :
} & & \searrow &_{\blue{\beta}}} & \nearrow & & \end{array})
est le minimum de 
alors le tableau de variation de } & & \nearrow &_{\blue{\beta}}} & \searrow & & \end{array})
0, savoir écrire un trinôme 
sous la forme ^2+{\blue\beta})
^2=a^2+2ab+b^2)
peut s'écrire aussi ^2-b^2)
^2=a^2-2ab+b^2)
peut s'écrire aussi ^2-b^2)
^2-a^2 )
^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 )
^2-a^2 )
^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 )
=x^2+2x-8)
sous forme canonique
Principe : on doit reconnaître sur 
le début d'une identité remarquable.
^2={\red{ x^2+2x}}+1)
^2-1)
=x^2+2x-8=(x+1)^2-1-8=(x+1)^2-9)
^2-9)
est bien de la forme )
.
TESTE-TOI
=3x^2-30x+12)
sous forme canonique
:
)
est le début du développement d'une identité remarquable de type ^2)
^2=(x-5)^2={\red{x^2-10x}}+25)
^2-25)
![g(x)=3x^2-30x+12=3(x^2-10x+4)=3\left[(x-5)^2-25+4\right]=3\left[ (x-5)^2-21\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=3x^2-30x+12=3(x^2-10x+4)=3\left[(x-5)^2-25+4\right]=3\left[ (x-5)^2-21\right])
=3(x-5)^2-63)
qui est la forme
canonique de )
.
et =-9)
=1\times\left((x-(-1)\right)^2-9=(x+1)^2-9)
=x^2-4x+4=(x-2)^2)
2 est racine double
![\white{wwwwwwwwww}[tex]h(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\white{wwwwwwwwww}[tex]h(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2))
=2x^2-4x\quad a=2\quad b=-4\quad c=0)
=2x(x-2))
=5x^2+20\quad a=5 \quad b=0 \quad c=20)
=5(x^2+4))
. Pour cet exemple, on ne peut pas factoriser davantage car 
n'admet pas
de racine réelle.
=x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=(x^2-x)-2x+2=x(x-1)-2(x-1)=(x-1)(x-2))
=x^2+6x-7)
=(x-1)(x-x_2))
où x2 est la seconde racine
=x^2-(1+x_2)x+x_2)
=x^2+2x-3)
Appliquons une autre méthode.
=1^2+2\times 1-3=0)
, 1 est donc racine de P.
=P(x)-P(1))
&= & x^2+2x-3 & & \\ P(1)&= & 1^2+2-3 & & \\ -------&- ---- & -------------- & &\text{ par soustraction membre à membre} \\ P(x)-P(1)& = & (x^2-1)+(2x-2)-3-(-3) & & \\ P(x)-0& =& (x+1)(x-1)+2(x-1) & & \\ P(x)& = &(x-1)(x+1+2) & & \\ P(x)&= & (x-1)(x+3) & & \text{ forme factorisée de } P(x)\text{ ; 1 et -3 sont racines de }P \end{matrix})
^2+{\blue\beta}})
=3(x-5)^2-63)
on factorise par 3
![g(x)=3\left[(x-5)^2-21\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=3\left[(x-5)^2-21\right] )
, entre les crochets, identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
=3 ( x-5-\sqrt{21})(x-5+\sqrt{21}))
forme factorisée de =-(x+1)^2+9)
=3^2-(x+1)²)
On reconnait l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)
=(3-x-1)(3+x+1))
=(2-x)(x+4))
=2(x-5)^2+1)
. Il n'est pas possible de factoriser )
qui n'a pas de racine.
,
et 
trois réels avec 
non nul.
 = {\magenta{ a}}x^2+bx+c )
est appelée fonction polynôme du second degré.
={\magenta{ a}}(x-{\red{\alpha}})^2+{\blue\beta})
et )
sont l'abscisse et l'ordonnée
du sommet S de la parabole P
=ax^2+bx+c)
avec a 
0
=a(x-x_1)(x-x_2))
est racine de P, alors on peut factoriser P par (x-
forum de première