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Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 22:58

@Verdurin

Je ne comprends pas le passage de la ligne 1 à la ligne 2.

"Il y a n^2 fractions vérifiant ces conditions.
Il y en a donc au plus n^2 qui sont irréductibles."


Je ne comprends pas pourquoi on a : f_n \leq n^2 + 1 et pas f_n = n^2+1.

card([|1,n|] \times [|1,n|])=n^2 + le \dfrac{0}{1} ce qui fait n^2+1 fractions.

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 23:02

Toutes les fractions ne sont pas irréductibles.
La fonction n'est pas surjective.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 23:45

Ah d'accord merci.

En plus ici on s'intéresse plus à \theta à la restriction de \theta à F_n et cette dernière n'est pas surjective non plus car F_n \subset \Q^+.

En fait, j'ai été trop vite pour la question 3, je n'arrive pas à conclure :

Soit x \in F_n. Comme x \ne 0 :

x = \dfrac{a}{b} avec 1 \leq a \leq b \leq n

Comme x \in \Q^+ : x=\dfrac{a'}{b'} avec PGCD(a',b')=1

Comme x= \dfrac{a}{b} = \dfrac{a'}{b'} et que a \leq b

Alors a' \leq b' \leq n

Mais je n'arrive pas à montrer que a' \geq 1

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 24-04-19 à 00:00

Finalement j'ai trouvé :

a'= \dfrac{ab'}{b} \geq 1 par produit d'entiers non nuls.

Pour la 4, le cas n=1 il faut montrer que :

f_n = n^2 + 1 \Leftrightarrow n=1

<= Si n=1 on sait que F_1 possède 2 éléments. f_1 = 1^2 + 1=2

=> Si f_n = n^2 + 1 . Là je ne vois pas.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 24-04-19 à 01:01

Même si j'ai compris le principe, je ne vois pas comment rédiger la question 4 pour montrer que : f_n \leq n^2 + 1.

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 24-04-19 à 13:52

Citation :

Je ne comprends pas pourquoi on a : f_n \leq n^2 + 1 et pas f_n = n^2+1.
card([|1,n|] \times [|1,n|])=n^2 + le \dfrac{0}{1} ce qui fait n^2+1 fractions.

Pourquoi crois-tu qu'on ait demandé d'expliciter les suites F_n,\;1\leq n\leq 6 ?
Juste pour consommer du papier ?
Ne vois-tu pas, en "regardant" ces réponses que tu dis des faussetés ?

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 10:27

Ah d'accord merci. J'ai un peu avancé.

Question XI.4 :
Si x \in F_n^* alors \theta(x) \in [|1,n|] \times [|1,n|]
Si x=0 \in F_n, \theta(0) = (0,1) \in \{(0,1) \}

Considérons l'application :
\theta : F_n \longrightarrow  [|1,n|] ^2 \bigcup \{(0,1) \}    \\ x \longmapsto (a,b)

On remarque que l'application \theta est injective donc si on restreint l'ensemble d'arrivée à l'ensemble image de F_n il y a bijectivité donc :

card(F_n) = card(\theta(F_n))

Or : \theta(F_n) \subset  [|1,n|] ^2 \bigcup \{(0,1) \}

Enfin : f_n \leq card( [|1,n|] ^2 \bigcup \{(0,1) \} ) = card( [|1,n|] ^2) + card( \{(0,1) \} =n^2+1

Montrons que f_n \leq n^2 + 1 \Leftrightarrow n=1

Soit n=1 alors F_1 = \{\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1} \}
On a : f_1 = 2 = 1^2 + 1 = n^2+1

Réciproquement, soit f_n =n^2+1. Montrons que n=1

Je bloque ici

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 12:07

Bonjour,
il suffit d'utiliser l'indication  (2;2)\not\in \text{Im}(\theta) donc \text{card}(\theta(F_n\setminus\lbrace0\rbrace))<n^2 quand n\ge2.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 13:39

Merci Verdurin.

Il faut montrer que : f_n = n^2+1 \Rightarrow n=1

Supposons que n \ne 1 .  \forall n \geq 1 : n \ne 1 \Leftrightarrow n >1

Le couple (2,2) n'a pas d'antécédent par \theta donc :

f_n < n^2 + 1  \Rightarrow f_n \ne n^2+1

On a montré :   n \ne 1 \Rightarrow f_n \ne n^2+1

Par contraposée, le résultat est démontré.

Question XII :

Montrons le résultat par récurrence sur n.

Au rang n=1, f_1=2 et \sum_{k=1}^1 \varphi(k) =\varphi(1)=1  car 1 est premier avec lui même.

Supposons qu'au rang n fixé (avec n \geq 1) on ait :

f_n = 1 + \sum_{k=1}^n \varphi(k)

On sait que les éléments de F_{n}  sont inclus dans ceux de F_{n+1}

Les éléments de F_{n+1} - F_n s'écrivent sous la forme :

\dfrac{\alpha}{n+1} avec \alpha premier avec n+1. Comme c'est une suite de Farey, 0 < \alpha \leq n+1 car 0 appartient forcément à F_n  et la FFI est inférieure ou égale à 1 par définition d'une suite de Farey.

Donc f_{n+1} = f_n + \varphi(n+1) = 1 + \sum_{k=1}^n \varphi(k) +  \varphi(n+1) = 1 + \sum_{k=1}^{n+1} \varphi(k)

Question XIII.1 :

Je n'ai pas compris la question

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 14:49

Le but de la question XIII est de montrer que si x et y sont deux termes consécutifs de Fn+1 il y en a au moins un qui est dans Fn.

Pour ceci elle propose un raisonnement par l'absurde qui commence au point 1, on obtient la contradiction au point 2 et on conclut au point 3.

C'est une question que je trouve très mal rédigée, et je crois que tu commences à le voir.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 17:47

Point 1 :

Supposons que x,y \in F_{n+1}-F_n. Alors :

x=\dfrac{k}{n+1} avec k premier avec n+1 et 1 \leq k \leq n car ni 0 ni n+1 n'est premier avec n+1
L'élément consécutif y s'écrit : y=\dfrac{k+1}{n+1} avec k+1 premier avec n+1 et 1 \leq k+1 \leq n.

Il faut donc que k \in [|1,n|] \bigcap [|0,n-1|] = [|1,n-1|]

Il existe k \in [|1,n-1|] avec PGCD(k,n+1)=1 et  PGCD(k+1,n+1)=1  tel que x=\dfrac{k}{n+1} et y=\dfrac{k}{n+1}

Point 2

Montrons que x- \dfrac{k}{n} <0
On a : x-\dfrac{k}{n} = - \dfrac{k}{n(n+1)} <0

Montrons que : y - \dfrac{k}{n} >0
On a : y - \dfrac{k}{n} = \dfrac{n-k}{n(n+1)} >0 car n-k \geq 1 >0

Point 3 :
Encore très mal rédigé. Il aurait fallu changé les x et y.

Comme 1 \leq k \leq n-1 alors : 0 \leq \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{k}{n} \leq 1 - \dfrac{1}{n} \leq 1 et 0 \leq k \leq n-1 \leq n

Donc \dfrac{k}{n} \in F_n d'après la question VIII.

Mais d'après IX on a : \dfrac{k}{n} \in F_{n+1}

Après j'ai du mal à trouver la contradiction. Que veut dire que x et y sont consécutifs ? Qu'ils se suivent ? Ou qu'ils se suivent directement et qu'il n'y a aucun autre élément entre eux ?

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 18:04

Pour consécutifs c'est la seconde version

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 18:06

Bonsoir !
Les éléments de chaque suite sont rangés par la relation d'ordre de \Q et x,y "consécutifs" veut dire :
y est LE successeur de x dans ou x est LE prédécesseur de y.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 18:27

D'accord c'est plus clair !

Donc x et y ne sont pas consécutifs dans F_{n+1} car \dfrac{k}{n} s'intercale entre x et y. Ce qui contraire à l'hypothèse de départ d'où une contradiction.

Conclusion : si x et y sont 2 éléments consécutifs de F_{n+1} alors x ou y est un élément de F_n.

Je réfléchis à la suite.

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 18:51

La conclusion est juste.
Il faut bien remarquer que x et y peuvent-être éléments de Fn.
Ceci pour la suite.

Posté par
lafol Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 28-04-19 à 22:59

C'est trop demander, les questions avant les réponses ?

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 14:23

Question IV
Le but de cette question est de démontrer pour tout entier n \geq 1 la propriété (P_n) : "si x et y sont, dans cette ordre, deux termes consécutifs de la suite de Farey F_n dont les FFI respectives sont \dfrac{a}{b} et \dfrac{c}{d} alors bc-ad=1 et x \oplus y est la première fraction qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey d'ordre m > n"
1/ Démontrer (P_1)

F_1 = \{\dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{1} \}
bc-ad=1 \times 1 - 1 \times 0 = 1-0=1
x \oplus y = \dfrac{1+0}{1+1}=\dfrac{1}{2}
Comme F_2 = \{\dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{1} \}
\dfrac{1}{2} est bien la première fraction qui apparaît entre  x et y dans une suite de Farey d'ordre 2

2/ On suppose que pour un certain entier n \geq 1 la propriété (P_n) es vraie. Soit alors x et y deux termes consécutifs de F_{n+1} dans cet ordre dont les FFI respectives sont \dfrac{a}{b} et \dfrac{c}{d}.
a/ Montrer que si x et y sont des éléments de F_n alors bc-ad=1 et x \oplus y est la première fraction qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à n+1


x et y sont aussi consécutifs dans F_n donc d'après l'hypothèse de récurrence, bc-ad=1 et x \oplus y est la première fraction qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à n

Du coup je ne comprends pas le "d'ordre strictement supérieur àn+1" dans l'énoncé Dans l'hypothèse de récurrence c'est "strictement supérieur à n"

Est-ce une erreur d'énoncé ? Ou bien je n'ai pas compris...

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 15:53

L'ordre strictement supérieur à n+1 est là pour prouver P(n+1) à partir de P(n).

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 16:03

Du coup je ne vois pas comment résoudre la question 2/a.

J'obtiens juste que :  x et y sont aussi consécutifs dans F_n donc d'après l'hypothèse de récurrence, bc-ad=1 et x \oplus y est la première fraction qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à n

Alors qu'il faut montrer pour un ordre strictement supérieur à n +1

Posté par
lafol Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 16:41

Et savoir ce que désigne "suite de Farey" c'est au programme du capes ?

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 16:54

Définition :  pour tout entier n \geq 1, la suite de Farey d'ordre n est la suite dont tous les termes sont rangés dans l'ordre croissant, tous les rationnels positifs compris entre 0 et 1 dont la forme fractionnaire irréductible a un dénominateur inférieur ou égal à n.

Par exemple : F_3 = (\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1})

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 18:48

Comme x et y sont consécutifs dans Fn+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1.
Elle a donc un dénominateur strictement plus grand que n+1.

Pour la suite je te conseille de te souvenir que la proposition P(n) est supposée vraie.
Les points b, c et d  sont assez absurdes.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 21:03

"Comme x et y sont consécutifs dans Fn+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1. "

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi la fraction qui apparaît entre eux ne peut pas avoir n+1 comme dénominateur

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 21:31

Puis je n'ai pas compris pourquoi si x et y sont consécutifs dans F_{n+1} alors ils le sont aussi dans F_n.

Exemple : n=2
\dfrac{1}{2} et \dfrac{1}{1}  sont consécutifs dans F_2 mais pas dans F_3 car il y a \dfrac{2}{3} entre les 2.

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 22:11

Ce n'est pas ça.
On a démontré que si x et y sont consécutifs dans Fn+1 alors x ou y est dans Fn.  

Il y a donc trois cas possibles :
      -- x est dans Fn et y n'est pas dans  Fn ;
      -- x n'est pas dans Fn et y est dans  Fn ;
      -- x et y sont dans Fn.

La question XIV.2.a. s'intéresse au troisième cas.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 22:30

Ah d'accord c'est plus clair. S'ils sont consécutifs dans F_{n+1} ils le seront dans F_n car aucun nouveau terme ne va apparaître. Mais je n'arrive toujours pas à comprendre le passage :

"Comme x et y sont consécutifs dans Fn+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1. "

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 22:36

Ah en fait j'ai compris merci. Je vais essayer de traiter la suite.

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 22:42

Ne t'attaches pas à la lettre des questions pour la suite.
Cet énoncé n'a manifestement pas été relu.
C'est à la limite scandaleux.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:03

Question 2.b :
Comme x et z sont 2 termes consécutifs de la suite de Farey F_n, d'après l'hypothèse de récurrence on a : br-as=1 et \dfrac{a}{b} \oplus \dfrac{r}{s} est la première fraction qui apparaît entre x et z dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à n.

Or br-as=b(a+r)-a(b+s)=1
Comme (a,b) \in \N \times \N^*, d'après le théorème de Bezout, a+r et b+s sont premiers entre eux et donc \dfrac{a+r}{b+s} est une fraction irréductible.

Comme \dfrac{a+r}{b+s} = x \oplus z et comme x<z d'après la question IV.2, x < x \oplus z < z.
Enfin : x < \dfrac{a+r}{b+s} < z

Question 2.c :
Je n'y arrive pas

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:15

Quand x,y sont consécutifs dans F_{n+1} ET éléments de F_n, d'après l'hypothèse de récurrence x\oplus y est la première fraction séparant x,y dans une suite qui vient après F_n. Mais cet élément (je veux dire x\oplus y) n'est pas dans F_{n+1} puisqu'il est strictement entre x,y qui sont consécutifs dans F_{n+1}.
Par conséquent la première suite où apparaît x\oplus y ne peut être ni F_n ni F_{n+1} : ce sera donc, au mieux, F_{n+2}. Bref une suite de Farey de numéro strictement supérieur à n+1

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:24

Ok merci Luzak c'est clair.

Par contre la 2c je ne vois pas. Il est évident que x < y. Mais je n'arrive pas à montrer que y < z ni que y = x \oplus z

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:48

Si x, y et z sont trois termes consécutifs ( dans cet ordre ) d'une suite de Farey on a par définition x<y<z.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:56

Je ne vois pas où vous avez trouvé l'information que x, y et z étaient consécutifs....

On sait juste que x et y sont consécutifs dans F_{n+1} et que z est le successeur de x dans F_n

On a donc : x < y et x < z

Comment vous savez que z est consécutif à y

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 29-04-19 à 23:57

Et y=x\oplus z découle directement de P(n).

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 00:01

Ramanujan @ 29-04-2019 à 23:56

Je ne vois pas où vous avez trouvé l'information que x, y et z étaient consécutifs....

On sait juste que x et y sont consécutifs dans F_{n+1} et que z est le successeur de x dans F_n

On a donc : x < y et x < z

Comment vous savez que z est consécutif à y

On utilise le résultat de la question XIII.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 00:28

J'ai trouvé mais je n'ai pas utilisé la question XIII.  Je ne vois pas le lien direct avec cette question

y est le successeur de x dans F_{n+1} donc x<y
z est le successeur de x dans F_{n} donc x<z
Si on avait y \leq z, alors comme z \in F_{n+1}, z serait le successeur de x dans F_{n+1} ce qui est absurde. Donc y<z
On a montré : x<y<z

x et z appartiennent à F_n d'après l'hypothèse de récurrence, x \oplus z est la première fraction qui apparaît entre x et z dans une suite de Farey d'ordre strictement plus grand que n.

Mais je ne vois pas comment conclure que y = x \oplus z

Comment montrer que y est la première fraction qui s'intercale entre x et z ?

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 01:34

J'ai réussi finalement.

x \oplus y est la première fraction à s'intercaler entre x et y dans une suite d'ordre strictement supérieur à n.
Mais x et y sont consécutifs dans F_{n+1} donc y est le successeur de x dans F_{n+1}. Comme y <z, y est la première fraction à s'intercaler entre x et z.
Par unicité, on en déduit que : y = x \oplus z

Question 2.d :
y= \dfrac{d}{c} = \dfrac{a+r}{b+s}
Par unicité d'une fraction irréductible : c=a+r et d=b+s

Question 2.e :
On a :  \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+r}{b+s}
Donc : c(b+s)=d(a+r) soit bc-ad=rd-sc
Par ailleurs : bc-ad=b(a+r)-a(b+s)=br-as=1 d'après la question XIV.2.b.

On a montré : bc-ad=rd-sc=1

Question 2.f :
On peut écrire : \dfrac{a}{b} < \dfrac{p}{q} < \dfrac{c}{d}

\dfrac{p}{q} < \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{pd-qc}{qd} > 0 \Leftrightarrow pd-qc<0 \Leftrightarrow u >0

De même :  \dfrac{a}{b} < \dfrac{p}{q} \Leftrightarrow \dfrac{aq-pb}{bq} > 0 \Leftrightarrow aq-pb<0 \Leftrightarrow v >0

On a montré u,v \in \N^*

Par ailleurs : au+cv=a(qc-pd)+c(pb-aq)=p(cb-ad) = p car cb-ad=1

Et :  bu+dv=bqc-daq=q(bc-ad)=q car cb-ad=1

Question 2.g :

Je n'y arrive pas, je ne comprends pas le lien entre m et m'.

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 02:58

Puis j'ai une question sur la récurrence.

On suppose que \dfrac{p}{q} est la première fraction irréductible qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey d'ordre m >n+1

Mais comment on sait qu'une fraction va forcément apparaître entre x et y dans une suite de Farey d'ordre m >n+1 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 06:59

Est ce que tu vas enfin te décider à donner un énoncé ?

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 09:41

Comment peux-tu penser qu'il n'y ait pas de rationnel entre deux r&tionnels distincts x,y. Un tel rationnel  esst forcément dans une des suites de Farey.

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 09:51

Le lien entre m,m' c'est juste pour dire que qu'on n'est pas certain que la première suite de Farey où se trouve x\oplus y c'est exactement m.

Tu peux montrer que b+d\leq q\leq m et en déduire que la fraction irréductible x\oplus y est dans une suite de Farey F_{m'} avec n+1<m'\leq m.

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 30-04-19 à 09:52

@lafol
Bonjour !
Je viens de t'envoyer l'énoncé. Je suppose que cela s'est passé correctement.

Posté par
verdurin
Ramanujan 01-05-19 à 21:56

Pourquoi Ramanujan est-il banni ?

Posté par
lafol Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 02-05-19 à 23:54

Ramanujan @ 23-04-2019 à 18:11

Je bloque à la question XXI.1
lafol @ 23-04-2019 à 18:12

question qu'on connait bien évidemment tous par coeur
lafol @ 23-04-2019 à 22:45

on doit aussi deviner ce que désigne F_n ?
lafol @ 28-04-2019 à 22:59

C'est trop demander, les questions avant les réponses ?
lafol @ 29-04-2019 à 16:41

Et savoir ce que désigne "suite de Farey" c'est au programme du capes ?
lafol @ 30-04-2019 à 06:59

Est ce que tu vas enfin te décider à donner un énoncé ?

Il n'est pas normal qu'on doive compter sur la gentillesse des autres membres pour savoir à quelles questions tu réponds ! et un lien (a fortiori pas posté par le demandeur) en guise d'énoncé, ça n'est pas vraiment conforme au règlement de l'île (sans compter que sur un écran de téléphone, jongler entre un pdf et un topic de l'ile, je sais pas si vous avez essayé,mais c'est franchement pas commode, or de plus en plus de jeunes ne vont plus sur internet que via leur téléphone. pensons à ceux qui s'intéresseront à ce sujet l'an prochain dans le cadre de leur préparation au CAPES : tel quel, c'est plus un flood indigeste qu'une aide à la résolution de ce problème

Posté par
verdurin
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 03-05-19 à 00:03

D'accord lafol.
Je comprends mieux.

Merci pour ta réponse, je n'avais pas pensé à tout

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 03-05-19 à 08:02

Bonjour,
Je suis d'accord avec les arguments de lafol.
J'aurais aimé continuer à m'intéresser à ce problème. Mais sans énoncé et après des recherches infructueuses de son énoncé quand j'ai fini par comprendre que c'était un sujet de capes, j'ai laissé tomber...
J'abonde dans "c'est plus un flood indigeste qu'une aide".

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 03-05-19 à 17:20

Bonjour, désolé pour ce sujet un peu désorganisé.
Lafol, à l'avenir je recopierai l'énoncé en entier. Mais comme vous avez fusionné plusieurs de mes posts ici, c'est pour cela que je n'ai pas recopié l'énoncé.

Je mets la fin rapidement en recopiant les questions.

Question 2.g
Déduire que x \oplus y apparaît dans une suite de Farey F_m ' avec n+1 <m' \leq m et que : x < x \oplus y <y

Rappelons que : x \oplus y = \dfrac{a+c}{b+d}
Comme \dfrac{p}{q} est la première fraction qui apparaît entre x et y dans une suite de Farey F_m on a : q=m

De même on obtient : b+d=m'

Comme x < y d'après IV.2, x < x \oplus y <y
On en déduit : 0 \leq x \oplus y \leq 1 avec b+d=m' \leq m'
x \oplus y apparaît bien dans une suite de Farey d'ordre m'

Comme u \geq 1 et v \geq 1 : p \geq a+c et q \geq b+d

Comme b+d=m' et q=m on obtient : m' \leq m

Par ailleurs : m'=b+d avec d=n+1. Comme b \geq 1 on a : b+d \geq n+2 >n+1
D'où : m' >n+1

Question 2.h :
On a montré que : m' \leq m
Supposons par l'absurde que : m' <m
Alors x \oplus y apparaît entre x et y avant \dfrac{p}{q} ce qui est absurde.
Donc m' \geq m
On en déduit m=m'
On a montré : b+d=q=bu+dv Montrons que u=v=1
Supposons par l'absurde que u >1 ou v>1
Prenons par exemple u \geq 1
Comme v \geq 1 on a : bu+dv \geq bu+d >u+d ce qui est absurde.
Conclusion : u=v=1 et : b+d=q puis a+c=p
Finalement : x \oplus y=p

Question 3 :
On a démontré (P_1)
La propriété (P_n) est héréditaire dans le cas où x \in F_n et y \in F_{n+1} - F_n
Il reste à traiter le cas x \in F_{n+1}-F_n et y \in F_n
Je bloque ici. Je ne sais pas s'il faut prendre z prédécesseur ou successeur de y

Posté par
luzak
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 03-05-19 à 22:53

Bonsoir !
Si tu prends un successeur de y tu seras en dehors de [x,y] et il est évident que tu ne pourras rien en faire !

Mais je ne pense pas nécessaire de détailler, il suffit de donner les grandes lignes !

Posté par Profil Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 05-05-19 à 21:23

Bonsoir,

Petite question de compréhension : à quoi servent les questions 2.b à 2.e dans la récurrence ?

Pour la question 3 j'ai fait :
Traitons le cas où x \in F_{n+1}-F_n et y \in F_n Soit z le prédécesseur de y dans F_n et z=\dfrac{r}{s} la FFI de z. z et y sont 2 termes consécutifs de la suite de Farey F_n, d'après l'hypothèse de récurrence, sc-rd=1 et z \oplus y est la première fraction irréductible qui apparaît entre z et y.
\dfrac{r+c}{s+d} est une fraction irréductible comprise entre z et y.
x=z \oplus y
a=r+c et b=s+d
bc-ad=(s+d)c-(r+c)d=sc-rd=1
x \oplus y apparaît dans une suite de Farey F_m ' avec m' \geq m et m'=b+d > n+1 car maintenant b=n+1
Finalement x \oplus y = \dfrac{p}{q}

Posté par
lafol Moderateur
re : capes 2019 épreuve 2 problème 2 05-05-19 à 21:25

Comment veux-tu qu'on te réponde sans savoir ce que demandent les questions 2.b à 2.e ? ni la question 3 d'ailleurs ! dans ta grande bonté tu nous as donné l'énoncé de la 2.g, et c'est tout !

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