Toutes les fractions ne sont pas irréductibles.
La fonction n'est pas surjective.

Ah d'accord merci.

En plus ici on s'intéresse plus à à la restriction de à et cette dernière n'est pas surjective non plus car .

En fait, j'ai été trop vite pour la question 3, je n'arrive pas à conclure :

Soit . Comme :

avec

Comme : avec

Comme et que

Alors

Mais je n'arrive pas à montrer que

Finalement j'ai trouvé :

par produit d'entiers non nuls.

Pour la 4, le cas il faut montrer que :



<= Si on sait que possède 2 éléments.

=> Si . Là je ne vois pas.

Même si j'ai compris le principe, je ne vois pas comment rédiger la question 4 pour montrer que : .

Ah d'accord merci. J'ai un peu avancé.

Question XI.4 :
Si alors
Si ,

Considérons l'application :


On remarque que l'application est injective donc si on restreint l'ensemble d'arrivée à l'ensemble image de il y a bijectivité donc :



Or :

Enfin :

Montrons que

Soit alors
On a :

Réciproquement, soit . Montrons que

Je bloque ici

Bonjour,
il suffit d'utiliser l'indication donc quand .

Merci Verdurin.

Il faut montrer que :

Supposons que .   :

Le couple n'a pas d'antécédent par donc :



On a montré :

Par contraposée, le résultat est démontré.

Question XII :

Montrons le résultat par récurrence sur n.

Au rang , et   car 1 est premier avec lui même.

Supposons qu'au rang fixé (avec ) on ait :



On sait que les éléments de   sont inclus dans ceux de

Les éléments de s'écrivent sous la forme :

avec premier avec . Comme c'est une suite de Farey, car 0 appartient forcément à   et la FFI est inférieure ou égale à 1 par définition d'une suite de Farey.

Donc

Question XIII.1 :

Je n'ai pas compris la question

Le but de la question XIII est de montrer que si x et y sont deux termes consécutifs de F_n+1 il y en a au moins un qui est dans F_n.

Pour ceci elle propose un raisonnement par l'absurde qui commence au point 1, on obtient la contradiction au point 2 et on conclut au point 3.

C'est une question que je trouve très mal rédigée, et je crois que tu commences à le voir.

Point 1 :

Supposons que . Alors :

avec premier avec et car ni ni n'est premier avec
L'élément consécutif s'écrit : avec premier avec et .

Il faut donc que

Il existe avec et    tel que et

Point 2

Montrons que
On a :

Montrons que :
On a : car

Point 3 :
Encore très mal rédigé. Il aurait fallu changé les x et y.

Comme alors : et

Donc d'après la question VIII.

Mais d'après IX on a :

Après j'ai du mal à trouver la contradiction. Que veut dire que et sont consécutifs ? Qu'ils se suivent ? Ou qu'ils se suivent directement et qu'il n'y a aucun autre élément entre eux ?

Pour consécutifs c'est la seconde version

Bonsoir !
Les éléments de chaque suite sont rangés par la relation d'ordre de et "consécutifs" veut dire :
est LE successeur de dans ou est LE prédécesseur de .

D'accord c'est plus clair !

Donc et ne sont pas consécutifs dans car s'intercale entre et . Ce qui contraire à l'hypothèse de départ d'où une contradiction.

Conclusion : si et sont 2 éléments consécutifs de alors ou est un élément de .

Je réfléchis à la suite.

La conclusion est juste.
Il faut bien remarquer que x et y peuvent-être éléments de F_n.
Ceci pour la suite.

C'est trop demander, les questions avant les réponses ?

Question IV
Le but de cette question est de démontrer pour tout entier la propriété : "si et sont, dans cette ordre, deux termes consécutifs de la suite de Farey dont les FFI respectives sont et alors et est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre "
1/ Démontrer



Comme
est bien la première fraction qui apparaît entre   et dans une suite de Farey d'ordre

2/ On suppose que pour un certain entier la propriété es vraie. Soit alors et deux termes consécutifs de dans cet ordre dont les FFI respectives sont et .
a/ Montrer que si et sont des éléments de alors et est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à

et sont aussi consécutifs dans donc d'après l'hypothèse de récurrence, et est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à

Du coup je ne comprends pas le "d'ordre strictement supérieur à" dans l'énoncé Dans l'hypothèse de récurrence c'est "strictement supérieur à "

Est-ce une erreur d'énoncé ? Ou bien je n'ai pas compris...

L'ordre strictement supérieur à n+1 est là pour prouver P(n+1) à partir de P(n).

Du coup je ne vois pas comment résoudre la question 2/a.

J'obtiens juste que :   et sont aussi consécutifs dans n donc d'après l'hypothèse de récurrence, et est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à

Alors qu'il faut montrer pour un ordre strictement supérieur à

Et savoir ce que désigne "suite de Farey" c'est au programme du capes ?

Définition :  pour tout entier , la suite de Farey d'ordre est la suite dont tous les termes sont rangés dans l'ordre croissant, tous les rationnels positifs compris entre 0 et 1 dont la forme fractionnaire irréductible a un dénominateur inférieur ou égal à .

Par exemple :

Comme x et y sont consécutifs dans F_n+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1.
Elle a donc un dénominateur strictement plus grand que n+1.

Pour la suite je te conseille de te souvenir que la proposition P(n) est supposée vraie.
Les points b, c et d  sont assez absurdes.

"Comme x et y sont consécutifs dans Fn+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1. "

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi la fraction qui apparaît entre eux ne peut pas avoir n+1 comme dénominateur

Puis je n'ai pas compris pourquoi si et sont consécutifs dans alors ils le sont aussi dans .

Exemple :
et   sont consécutifs dans mais pas dans car il y a entre les 2.

Ce n'est pas ça.
On a démontré que si x et y sont consécutifs dans F_n+1 alors x ou y est dans F_n.  

Il y a donc trois cas possibles :
      -- x est dans F_n et y n'est pas dans  F_n ;
      -- x n'est pas dans F_n et y est dans  F_n ;
      -- x et y sont dans F_n.

La question XIV.2.a. s'intéresse au troisième cas.

Ah d'accord c'est plus clair. S'ils sont consécutifs dans ils le seront dans car aucun nouveau terme ne va apparaître. Mais je n'arrive toujours pas à comprendre le passage :

"Comme x et y sont consécutifs dans Fn+1 la première fraction irréductible qui apparaît entre eux n'a pas comme dénominateur n+1. "

Ah en fait j'ai compris merci. Je vais essayer de traiter la suite.

Ne t'attaches pas à la lettre des questions pour la suite.
Cet énoncé n'a manifestement pas été relu.
C'est à la limite scandaleux.

Question 2.b :
Comme et sont 2 termes consécutifs de la suite de Farey , d'après l'hypothèse de récurrence on a : et est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre strictement supérieur à .

Or
Comme , d'après le théorème de Bezout, et sont premiers entre eux et donc est une fraction irréductible.

Comme et comme d'après la question IV.2, .
Enfin :

Question 2.c :
Je n'y arrive pas

Quand sont consécutifs dans ET éléments de , d'après l'hypothèse de récurrence est la première fraction séparant dans une suite qui vient après . Mais cet élément (je veux dire ) n'est pas dans puisqu'il est strictement entre qui sont consécutifs dans .
Par conséquent la première suite où apparaît ne peut être ni ni : ce sera donc, au mieux, . Bref une suite de Farey de numéro strictement supérieur à

Ok merci Luzak c'est clair.

Par contre la 2c je ne vois pas. Il est évident que . Mais je n'arrive pas à montrer que ni que

Si x, y et z sont trois termes consécutifs ( dans cet ordre ) d'une suite de Farey on a par définition x<y<z.

Je ne vois pas où vous avez trouvé l'information que x, y et z étaient consécutifs....

On sait juste que et sont consécutifs dans et que est le successeur de dans

On a donc : et

Comment vous savez que est consécutif à

Et découle directement de P(n).

J'ai trouvé mais je n'ai pas utilisé la question XIII.  Je ne vois pas le lien direct avec cette question

est le successeur de dans donc
est le successeur de dans donc
Si on avait , alors comme , serait le successeur de dans ce qui est absurde. Donc
On a montré :

et appartiennent à d'après l'hypothèse de récurrence, est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre strictement plus grand que .

Mais je ne vois pas comment conclure que

Comment montrer que est la première fraction qui s'intercale entre et ?

J'ai réussi finalement.

est la première fraction à s'intercaler entre et dans une suite d'ordre strictement supérieur à .
Mais et sont consécutifs dans donc est le successeur de dans . Comme , est la première fraction à s'intercaler entre et .
Par unicité, on en déduit que :

Question 2.d :

Par unicité d'une fraction irréductible : et

Question 2.e :
On a :
Donc : soit
Par ailleurs : d'après la question XIV.2.b.

On a montré :

Question 2.f :
On peut écrire :



De même :  

On a montré

Par ailleurs : car

Et :   car

Question 2.g :

Je n'y arrive pas, je ne comprends pas le lien entre et .

Puis j'ai une question sur la récurrence.

On suppose que est la première fraction irréductible qui apparaît entre et dans une suite de Farey d'ordre

Mais comment on sait qu'une fraction va forcément apparaître entre et dans une suite de Farey d'ordre ?

Est ce que tu vas enfin te décider à donner un énoncé ?

Comment peux-tu penser qu'il n'y ait pas de rationnel entre deux r&tionnels distincts . Un tel rationnel  esst forcément dans une des suites de Farey.

Le lien entre c'est juste pour dire que qu'on n'est pas certain que la première suite de Farey où se trouve c'est exactement .

Tu peux montrer que et en déduire que la fraction irréductible est dans une suite de Farey avec .

@lafol
Bonjour !
Je viens de t'envoyer l'énoncé. Je suppose que cela s'est passé correctement.

Pourquoi Ramanujan est-il banni ?

D'accord lafol.
Je comprends mieux.

Merci pour ta réponse, je n'avais pas pensé à tout

Bonjour,
Je suis d'accord avec les arguments de lafol.
J'aurais aimé continuer à m'intéresser à ce problème. Mais sans énoncé et après des recherches infructueuses de son énoncé quand j'ai fini par comprendre que c'était un sujet de capes, j'ai laissé tomber...
J'abonde dans "c'est plus un flood indigeste qu'une aide".

Bonjour, désolé pour ce sujet un peu désorganisé.
Lafol, à l'avenir je recopierai l'énoncé en entier. Mais comme vous avez fusionné plusieurs de mes posts ici, c'est pour cela que je n'ai pas recopié l'énoncé.

Je mets la fin rapidement en recopiant les questions.

Question 2.g
Déduire que apparaît dans une suite de Farey avec et que :

Rappelons que :
Comme est la première fraction qui apparaît entre et dans une suite de Farey on a :

De même on obtient :

Comme d'après IV.2,
On en déduit : avec
apparaît bien dans une suite de Farey d'ordre

Comme et : et

Comme et on obtient :

Par ailleurs : avec . Comme on a :
D'où :

Question 2.h :
On a montré que :
Supposons par l'absurde que :
Alors apparaît entre et avant ce qui est absurde.
Donc
On en déduit
On a montré : Montrons que
Supposons par l'absurde que ou
Prenons par exemple
Comme on a : ce qui est absurde.
Conclusion : et : puis
Finalement :

Question 3 :
On a démontré
La propriété est héréditaire dans le cas où et
Il reste à traiter le cas et
Je bloque ici. Je ne sais pas s'il faut prendre prédécesseur ou successeur de

Bonsoir !
Si tu prends un successeur de tu seras en dehors de et il est évident que tu ne pourras rien en faire !

Mais je ne pense pas nécessaire de détailler, il suffit de donner les grandes lignes !

Bonsoir,

Petite question de compréhension : à quoi servent les questions 2.b à 2.e dans la récurrence ?

Pour la question 3 j'ai fait :
Traitons le cas où et Soit le prédécesseur de dans et la FFI de . et sont 2 termes consécutifs de la suite de Farey , d'après l'hypothèse de récurrence, et est la première fraction irréductible qui apparaît entre et .
est une fraction irréductible comprise entre et .

et

apparaît dans une suite de Farey avec et car maintenant
Finalement

Comment veux-tu qu'on te réponde sans savoir ce que demandent les questions 2.b à 2.e ? ni la question 3 d'ailleurs ! dans ta grande bonté tu nous as donné l'énoncé de la 2.g, et c'est tout !