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capes 2019 épreuve 2 problème 2

Posté par
Ramanujan 22-04-19 à 17:27

Bonjour,

Soient a,b,n des entiers relatifs avec a et b non nuls.

Montrer que PGCD(a,b) = PCGD(a,b+na)

Je ne vois pas comment partir.

Posté par
Yzzre : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 17:39

Salut,

Montre que tout diviseur de a et b divise a et b+na ; et réciproquement.

Posté par
Ramanujanre : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 19:43

Merci j'ai réussi en montrant que si on note D l'ensemble des diviseurs :

D_a \cap D_b = D_a \cap D_{b+na}

Il est trivial que ces ensembles sont non vides : 1 \in D_a \cap D_b et 1 \in D_a \cap D_{b+na}
Comment montrer que ce sont des parties majorées de \Z ?

Posté par
lakere : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 19:52

Bonjour,

Tu te compliques l'existence; en suivant l'idée de Yzz:

tu montres que l'ensemble des diviseurs communs à  a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs à a et b+na

Tu conclus ensuite en écrivant que le plus grand d'entre eux est le PGCD des deux couples.

Posté par
Ramanujanre : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 20:00

Je suis d'accord Lake mais il faut justifier l'existence d'un plus grand élément non ?

J'ai réussi à démontrer l'égalité des 2 ensembles.

Posté par
Yzzre : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 20:41

l'ensemble des diviseurs de a n'est-il pas trivialement majoré par a ?

Posté par
Ramanujanre : Plus grand commun diviseur 22-04-19 à 22:02

Ah oui en effet !

On a l'ensemble D_a \cap D_b qui est majoré par \max(|a|,|b)

Posté par
RamanujanSomme des cancres 23-04-19 à 00:35

Bonsoir,

Soient x,y \in \Q^+. Leur forme fractionnaire irréductible (en abrégé FFI) sont notées \dfrac{a}{b} et \dfrac{c}{d} où a, b, c, d sont des entiers naturels, b et d sont non nuls, a et b sont premiers entre eux et c et d sont premiers entre eux. La somme des cancres de x et y est définie par :

x \oplus y = \dfrac{a+c}{b+d}

On se place dans le plan euclidien muni d'un repère (O, I, J). Pour x \in \Q^+ de FFI \dfrac{a}{b} on note M_x le point de coordonnées (b,a).

1/ Soient x,y \in \Q^{+*} . Montrer que O, M_{x \oplus y}, I sont alignés avec I le mileu de [M_x M_y]

2/ Qu'est la droite ( M_{x \oplus y}) pour le triangle OM_xM_y ?

Je bloque pour calculer les coordonnées du point M_{x \oplus y} car la FFI de x \oplus y n'est pas toujours \dfrac{a+c}{b+d}.
Il suffit de prendre x= \dfrac{1}{2} et y=\dfrac{1}{4} pour s'en convaincre.

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Posté par
Zormuchere : Somme des cancres 23-04-19 à 00:39

Bonjour

Mais pour toute forme a/b ayant comme FFI a'/b', on a le rapport de proportionnalité a=ka' et b=kb'

La droite qui relie O et (b+d, c+a) passe par le point correspondant a la FFI de x(+)y

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 01:08

Je n'ai rien compris.

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : Somme des cancres 23-04-19 à 01:41

C'est pourtant clair, enfin j'espère...

Tu es bien d'accord que les points O, (a+c,b+d) et ((a+c)/k, (b+d)/k) sont alignés

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 01:44

J'en suis pas à là.

Je n'arrive pas à déterminer les coordonnées de M_{x \oplus y} car je ne vois pas comment calculer la FFI de x \oplus y en fonction de a, b, c et d.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 02:02

Si A=a+c et B=b+d ne sont pas premiers entre eux, comment savoir si c'est A qui divise B ou B qui divise A ?

*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : Somme des cancres 23-04-19 à 03:02

Tu n'as pas besoin de déterminer les coordonnées. Mais comme je te l'ai dit, tu peux remarquer que les points
O

M_{x\oplus y}

(b+d, a+c)

sont alignés

Donc pour montrer que O, M_{x\oplus y}, I  sont alignés

il suffit de montrer que O, (b+d, a+c), I  sont alignés

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 03:53

Je n'arrive pas à montrer que :

O, M_{x\oplus y}, (b+d, a+c) sont alignés.

Je n'ai pas les coordonnées de  M_{x\oplus y} toujours le même problème depuis le début.

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Posté par
Yzzre : Plus grand commun diviseur 23-04-19 à 08:02

Et même par min(|a|,|b|)    

Posté par
luzakre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:07

Bonjour !
Tu es bien gêné pour pas grand chose !
Pose k=\mathrm{pgcd}(a+c,b+d),\;a+c=k\alpha,\;b+d=k\beta d'où la représentation irréductible \dfrac{\alpha}{\beta}.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:13

Bonjour,
Puisque tu veux absolument les coordonnées de Mxy , on peut leurs donner un nom :
f et e avec (a+c)/(b+d) = e/f .

Les coordonnées du milieu de [MxMy] sont (b+d)/2 et (a+b)/2 .
Avec ça, tu dois réussir à démontrer l'alignement.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:15

Bonjour luzak
Je n'avais pas vu ta réponse.
Avec ce doublon, Ramanujan va peut-être y arriver.

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Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:17

Il y a une coquille dans l'énoncé de la seconde question : ( M_{x \oplus y}) n'est pas une droite.

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Posté par
luzakre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:50

Bonjour Sylvieg !
En fait j'ai voulu aller trop vite : il faut commencer par prendre numérateur et dénominateur de x\oplus y. Mais il n'y a pas grand chose à changer !

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 08:59

Il faudrait démontrer que PGCD(\alpha,\beta)=1 pour prouver que \dfrac{\alpha}{\beta} est la représentation irréductible.
Je ne vois pas comment faire.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 09:00

Sylvieg @ 23-04-2019 à 08:17

Il y a une coquille dans l'énoncé de la seconde question :  ( M_{x \oplus y})  n'est pas une droite.


Oui j'ai fait une erreur de frappe c'est ( OM_{x \oplus y})

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 09:33

Sylvieg j'ai tenté avec votre méthode mais je n'aboutis pas.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 09:42

Il n'y a rien à prouver ! Tu veux aussi prouver que pgcd(a,b) = pgcg(c,d) = 1 ?

Il y a la forme fractionnaire irréductible de (a+c)/(b+d) . On sait qu'elle existe.
On peut la noter e/f ou / .
Le fait que c'est irréductible ne sert à rien dans les 2 questions.

Si x = a/b et y = c/d alors xy = (a+c)/(b+d) = e/f .
C'est suffisant pour traiter les 2 questions :
Ecris, avec a, b, c, d, les coordonnées de Mx , de My puis du milieu.
Ecris, avec e et f , les coordonnées de Mxy .
Utilise (a+c)/(b+d) = e/f pour conclure.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 09:44

Tu n'arrives pas à démontrer que les vecteurs OI et OMxy sont colinéaires ?

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 10:01

D'accord merci

\vec{OI} = ( \dfrac{b+d}{2}, \dfrac{a+c}{2})

\vec{OM_{x \oplus y}} = (f,e) = (e \dfrac{b+d}{a+c},f \dfrac{a+c}{b+d})

Mais \dfrac{f}{b+d} = \dfrac{e}{a+c} donc :

\vec{OM_{x \oplus y}} = \dfrac{2e}{a+c} ( \dfrac{b+d}{2}, \dfrac{a+c}{2})

Enfin : \vec{OM_{x \oplus y}} = \dfrac{2e}{a+c} \vec{OI}

Donc les points O, M, M_{x \oplus y} sont alignés.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 10:04

Pour la 2, la droite (OM_{x \oplus y}) est la médiane du triangle OM_x M_y

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des cancres 23-04-19 à 11:16

Enlever ces " = " entre un vecteur et ses coordonnées.

\vec{OI} ( \dfrac{b+d}{2}, \dfrac{a+c}{2}) et \vec{OM_{x \oplus y}} (f,e)

Ecrire un déterminant, le trouver nul ; c'est terminé en 2 lignes.

Je suppose qu'il y a une suite.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 14:11

Merci Sylviel, sur mon cahier j'ai rédigé la solution avec le déterminant nul, c'est vrai qu'elle est plus rapide et plus facile. Voici la dernière question de cette partie.

Soient x,y \in \Q^+ non nuls de FFI respectives \dfrac{a}{b} et \dfrac{c}{d}. On suppose que a > c et b <d. En utilisant l'aire de rectangles et de triangles rectangles, montrer que l'aire du triangle OM_xM_y est : \dfrac{ad-bc}{2}

Voici mon schéma respectant les conditions a > c et b <d :

Notons P le projeté orthogonal de M_x sur (OJ) et R le projeté orthogonal de M_y sur (OI).
Notons Q le point de cordonnées (d,a)

A_{OM_x M_y} =A_{OPQR} - A_{OPM_x}- A_{ORM_y}-A_{M_y QM_x}

Donc : A_{OM_x M_y} = ad - \dfrac{ba}{2} - \dfrac{dc}{2} - \dfrac{(a-c)(d-b)}{2}  

Enfin : A_{OM_x M_y}=\dfrac{ad-bc}{2}

Somme des cancres

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Somme des cancres 23-04-19 à 14:51

Ramanujan @ 23-04-2019 à 08:59

Il faudrait démontrer que PGCD(\alpha,\beta)=1 pour prouver que \dfrac{\alpha}{\beta} est la représentation irréductible.
Je ne vois pas comment faire.

Parce que tu ne sais pas qu'en divisant deux entiers par leur plus grand diviseur commun on obtient deux entiers premiers entres eux ? Les niveaux ont bien évolué !

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 15:17

luzak @ 23-04-2019 à 14:51

Ramanujan @ 23-04-2019 à 08:59

Il faudrait démontrer que PGCD(\alpha,\beta)=1 pour prouver que \dfrac{\alpha}{\beta} est la représentation irréductible.
Je ne vois pas comment faire.

Parce que tu ne sais pas qu'en divisant deux entiers par leur plus grand diviseur commun on obtient deux entiers premiers entres eux ? Les niveaux ont bien évolué !


Non je ne saurais pas le démontrer.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 15:24

Je bloque sur une équivalence à démontrer par la suite.

Soit x \in \Q^+ On suppose \exists(a,b) \in \N \times \N^* , x=\dfrac{a}{b} et 0 \leq a \leq b \leq n

Je n'arrive pas à démontrer que PGCD(a,b)=1 pour prouver que  \dfrac{a}{b} est la FFI de x.

Comme x \in \Q^+, il existe un unique couple d'entiers tel que : x=\dfrac{a'}{b'} avec (a',b') \in \N \times \N^* et a' et b' premiers entre eux.
Comment prouver que a=a' et b=b' ?

*** message déplacé ***

Posté par
Poncarguesre : Somme des cancres 23-04-19 à 15:31

Et n est...?
Et tu saurais vraiment pas démontrer que (ka, kb)=k(a,b)?  

*** message déplacé ***

Posté par
verdurinre : Somme des cancres 23-04-19 à 15:50

Bonjour,
pour la question VIII il n'est pas utile de montrer que la fraction a/b est irréductible.
Il suffit de vérifier qu'elle est entre 0 et 1 et que le dénominateur  de se forme irréductible est plus petit que n.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 15:59

n est un entier supérieur ou égal à 1.

Poncargues, je n'ai pas compris où vous voulez en venir avec (ka,kb)=k(a,b)

Verdurin merci pour la précision vous avez raison.

Déjà : comme b est non nul et que :0 \leq a \leq b alors 0\leq x = \dfrac{a}{b} \leq 1
On a montré que x \in [0,1]

Supposons que \dfrac{a'}{b'} soit la FFI de x.

Alors on a : x= \dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}

Il faut montrer que b' \leq n

Je ne vois toujours pas comment faire

*** message déplacé ***

Posté par
Poncarguesre : Somme des cancres 23-04-19 à 16:07

luzak @ 23-04-2019 à 14:51


Parce que tu ne sais pas qu'en divisant deux entiers par leur plus grand diviseur commun on obtient deux entiers premiers entres eux ? Les niveaux ont bien évolué !


Ramanujan @ 23-04-2019 à 15:17


Non je ne saurais pas le démontrer.


Poncargues @ 23-04-2019 à 15:31


Et tu saurais vraiment pas démontrer que (ka, kb)=k(a,b)?  


*** message déplacé ***

Posté par
verdurinre : Somme des cancres 23-04-19 à 16:08

Si b=kb' alors b'b car k est un entier strictement positif.

En gros : quand on simplifie une fraction le numérateur et le dénominateur diminuent.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 16:21

Ok merci Verdurin.

C'est quoi votre notation (ka, kb)=k(a,b) ? Que signifie le ( . , .) ?  C'est un couple d'entier ?

*** message déplacé ***

Posté par
Poncarguesre : Somme des cancres 23-04-19 à 16:22

C'est un pgcd.

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : Somme des cancres 23-04-19 à 16:30

Ah d'accord j'ai trouvé :

Soit a  \in \N et b \in \N^*

Notons a' = \dfrac{a}{PGCD(a,b)} et  b' = \dfrac{b}{PGCD(a,b)}

On a : PGCD(a',b') = PGCD( \dfrac{a}{PGCD(a,b)} , \dfrac{b}{PGCD(a,b)}) = \dfrac{1}{{PGCD(a,b)}} PGCD(a,b) = 1

*** message déplacé ***

Posté par
Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 18:11

Je bloque à la question XXI.1

Posté par
lafol Moderateurre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 18:12

question qu'on connait bien évidemment tous par coeur

Posté par
Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 18:33

On considère l'application suivante :

\theta : \Q^+ \longrightarrow \N \times \N \\ x \longmapsto (a,b)  tel que \dfrac{a}{b} est la forme fractionnaire irréductible de x.

1/ Montrer que \theta est injective.
2/ Montrer que \theta n'est pas surjective.On pourra montrer que (2,2) \notin \theta(\Q^+)
3/ Soit x \in F_n non nul. Montrer que \theta (x) \in [|1,n|] \times [|1,n|].
4/ On note f_n le nombre de termes de F_n. Montrer que f_n \leq n^2 +1 et que l'égalité n'est satisfaite que si n=1.

Posté par
verdurinre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 18:37

Il n'y a pas de question XXI dans ce problème.
C'est la question XI.
Je donne quand même un lien :

Deux rationnels distincts peut-ils avoir la même forme fractionnaire ?

Posté par
verdurinre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 20:30

J'ai juste envie de dire tout le mal que je pense de ce sujet.
La question XI étant un bon exemple de ce que je trouve détestable.
Elle n'a de sens que dans le point 4 et les points précédents relèvent de l'évidence.
L'indication du point 2 est presque insultante.
Et la rédaction de la question XIII est, au mieux, maladroite.

On peut dire que le niveau des rédacteurs de sujets a vraiment baissé.
Ou que plus personne ne les relit.

Posté par
Ramanujanre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 22:16

Pour la question XIII où est la maladresse ?

1/ Soit x = \dfrac{a}{b} et x'=\dfrac{a'}{b'} avec ces 2 fractions irréductibles. Elles existent car tout élément de \Q^+ admet une FFI unique.

Si \theta(x)=\theta(x') alors (a,b)=(a',b') donc a=a' et b=b' soit x=x'

2/ Pour montrer la non surjectivité il faut montrer que :

\exists(a,b) \in \N \times \N , \forall x \in \Q^+ : \theta(x) \ne (a,b)

Ici en prenant (a,b)=(2,2) que :

\forall x \in \Q^+ : \theta(x) \ne (2,2)

Soit x \in \Q^+ alors il admet une FFI de la forme : x=\dfrac{u}{v}
avec u,v premiers entre eux.

Par l'absurde, si \theta(x)=(2,2) alors u=v=2 ce qui est contradictoire avec u,v premiers entre eux.

Pour la 3, trivial en utilisant l'équivalence démontré en VIII car x \ne 0 donc a \geq 1

Pour la 4, je n'y arrive pas

Posté par
verdurinre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 22:33

Quelque soit x\neq0 dans F_n sa forme fractionnaire irréductible s'écrit \dfrac{a}{b} avec 0<a\leq n et 0<b\leq n.

Il y a n^2 fractions vérifiant ces conditions.
Il y en a donc au plus n^2 qui sont irréductibles. Et il faut penser à \frac01.

capes 2019 épreuve 2 problème 2

Posté par
lafol Moderateurre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 22:43

pour la question 2, on peut leur proposer aussi tous les couples (n,0) .... vraiment pas relu, ce sujet !

Posté par
lafol Moderateurre : capes 2019 épreuve 2 problème 2 23-04-19 à 22:45

on doit aussi deviner ce que désigne F_n ?

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