Bonjour,
Soient des entiers relatifs avec
et
non nuls.
Montrer que
Je ne vois pas comment partir.
Merci j'ai réussi en montrant que si on note D l'ensemble des diviseurs :
Il est trivial que ces ensembles sont non vides : et
Comment montrer que ce sont des parties majorées de ?
Bonjour,
Tu te compliques l'existence; en suivant l'idée de :
tu montres que l'ensemble des diviseurs communs à et
est égal à l'ensemble des diviseurs communs à
et
Tu conclus ensuite en écrivant que le plus grand d'entre eux est le PGCD des deux couples.
Je suis d'accord Lake mais il faut justifier l'existence d'un plus grand élément non ?
J'ai réussi à démontrer l'égalité des 2 ensembles.
Bonsoir,
Soient . Leur forme fractionnaire irréductible (en abrégé FFI) sont notées
et
où a, b, c, d sont des entiers naturels, b et d sont non nuls, a et b sont premiers entre eux et c et d sont premiers entre eux. La somme des cancres de
et
est définie par :
On se place dans le plan euclidien muni d'un repère (O, I, J). Pour de FFI
on note
le point de coordonnées
.
1/ Soient . Montrer que
sont alignés avec
le mileu de
2/ Qu'est la droite pour le triangle
?
Je bloque pour calculer les coordonnées du point car la FFI de
n'est pas toujours
.
Il suffit de prendre et
pour s'en convaincre.
*** message déplacé ***
Bonjour
Mais pour toute forme a/b ayant comme FFI a'/b', on a le rapport de proportionnalité a=ka' et b=kb'
La droite qui relie O et (b+d, c+a) passe par le point correspondant a la FFI de x(+)y
*** message déplacé ***
C'est pourtant clair, enfin j'espère...
Tu es bien d'accord que les points O, (a+c,b+d) et ((a+c)/k, (b+d)/k) sont alignés
*** message déplacé ***
J'en suis pas à là.
Je n'arrive pas à déterminer les coordonnées de car je ne vois pas comment calculer la FFI de
en fonction de a, b, c et d.
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Si et
ne sont pas premiers entre eux, comment savoir si c'est
qui divise
ou
qui divise
?
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Tu n'as pas besoin de déterminer les coordonnées. Mais comme je te l'ai dit, tu peux remarquer que les points
sont alignés
Donc pour montrer que sont alignés
il suffit de montrer que sont alignés
*** message déplacé ***
Je n'arrive pas à montrer que :
,
,
sont alignés.
Je n'ai pas les coordonnées de toujours le même problème depuis le début.
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Bonjour !
Tu es bien gêné pour pas grand chose !
Pose d'où la représentation irréductible
.
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Bonjour,
Puisque tu veux absolument les coordonnées de Mxy , on peut leurs donner un nom :
f et e avec (a+c)/(b+d) = e/f .
Les coordonnées du milieu de [MxMy] sont (b+d)/2 et (a+b)/2 .
Avec ça, tu dois réussir à démontrer l'alignement.
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Bonjour luzak
Je n'avais pas vu ta réponse.
Avec ce doublon, Ramanujan va peut-être y arriver.
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Il y a une coquille dans l'énoncé de la seconde question : n'est pas une droite.
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Bonjour Sylvieg !
En fait j'ai voulu aller trop vite : il faut commencer par prendre numérateur et dénominateur de . Mais il n'y a pas grand chose à changer !
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Il faudrait démontrer que pour prouver que
est la représentation irréductible.
Je ne vois pas comment faire.
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Il n'y a rien à prouver ! Tu veux aussi prouver que pgcd(a,b) = pgcg(c,d) = 1 ?
Il y a la forme fractionnaire irréductible de (a+c)/(b+d) . On sait qu'elle existe.
On peut la noter e/f ou /
.
Le fait que c'est irréductible ne sert à rien dans les 2 questions.
Si x = a/b et y = c/d alors xy = (a+c)/(b+d) = e/f .
C'est suffisant pour traiter les 2 questions :
Ecris, avec a, b, c, d, les coordonnées de Mx , de My puis du milieu.
Ecris, avec e et f , les coordonnées de Mxy .
Utilise (a+c)/(b+d) = e/f pour conclure.
*** message déplacé ***
Enlever ces " = " entre un vecteur et ses coordonnées.
et
Ecrire un déterminant, le trouver nul ; c'est terminé en 2 lignes.
Je suppose qu'il y a une suite.
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Merci Sylviel, sur mon cahier j'ai rédigé la solution avec le déterminant nul, c'est vrai qu'elle est plus rapide et plus facile. Voici la dernière question de cette partie.
Soient non nuls de FFI respectives
et
. On suppose que
et
. En utilisant l'aire de rectangles et de triangles rectangles, montrer que l'aire du triangle
est :
Voici mon schéma respectant les conditions et
:
Notons P le projeté orthogonal de sur
et R le projeté orthogonal de
sur
.
Notons Q le point de cordonnées
Donc :
Enfin :
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Je bloque sur une équivalence à démontrer par la suite.
Soit On suppose
et
Je n'arrive pas à démontrer que pour prouver que
est la FFI de
.
Comme , il existe un unique couple d'entiers tel que :
avec
et
et
premiers entre eux.
Comment prouver que et
?
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Bonjour,
pour la question VIII il n'est pas utile de montrer que la fraction a/b est irréductible.
Il suffit de vérifier qu'elle est entre 0 et 1 et que le dénominateur de se forme irréductible est plus petit que n.
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est un entier supérieur ou égal à 1.
Poncargues, je n'ai pas compris où vous voulez en venir avec (ka,kb)=k(a,b)
Verdurin merci pour la précision vous avez raison.
Déjà : comme b est non nul et que : alors
On a montré que
Supposons que soit la FFI de
.
Alors on a :
Il faut montrer que
Je ne vois toujours pas comment faire
*** message déplacé ***
Si b=kb' alors b'b car k est un entier strictement positif.
En gros : quand on simplifie une fraction le numérateur et le dénominateur diminuent.
*** message déplacé ***
Ok merci Verdurin.
C'est quoi votre notation (ka, kb)=k(a,b) ? Que signifie le ? C'est un couple d'entier ?
*** message déplacé ***
On considère l'application suivante :
tel que
est la forme fractionnaire irréductible de
.
1/ Montrer que est injective.
2/ Montrer que n'est pas surjective.On pourra montrer que
3/ Soit non nul. Montrer que
.
4/ On note le nombre de termes de
. Montrer que
et que l'égalité n'est satisfaite que si
.
J'ai juste envie de dire tout le mal que je pense de ce sujet.
La question XI étant un bon exemple de ce que je trouve détestable.
Elle n'a de sens que dans le point 4 et les points précédents relèvent de l'évidence.
L'indication du point 2 est presque insultante.
Et la rédaction de la question XIII est, au mieux, maladroite.
On peut dire que le niveau des rédacteurs de sujets a vraiment baissé.
Ou que plus personne ne les relit.
Pour la question XIII où est la maladresse ?
1/ Soit et
avec ces 2 fractions irréductibles. Elles existent car tout élément de
admet une FFI unique.
Si alors
donc
et
soit
2/ Pour montrer la non surjectivité il faut montrer que :
Ici en prenant que :
Soit alors il admet une FFI de la forme :
avec u,v premiers entre eux.
Par l'absurde, si alors
ce qui est contradictoire avec u,v premiers entre eux.
Pour la 3, trivial en utilisant l'équivalence démontré en VIII car donc
Pour la 4, je n'y arrive pas
Quelque soit dans
sa forme fractionnaire irréductible s'écrit
avec
et
.
Il y a fractions vérifiant ces conditions.
Il y en a donc au plus qui sont irréductibles. Et il faut penser à
.
pour la question 2, on peut leur proposer aussi tous les couples (n,0) .... vraiment pas relu, ce sujet !
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