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Carré dans le carré

Posté par
Coramaths
17-02-21 à 11:33

Bonjour, j'ai un dm de maths à rendre mais je ne comprend pas cet exercice si quelqu'un pourrait m'aider


À partir d'un carré de côté un mètre, on construit un second carré en joignant les points situés au quart de chaque côté.
Puis on itère le procédé, définissant ainsi une suite de carrés...
On pose an l'aire en m2 du nième carré.
1. Établir une relation de récurrence entre an+1 et an .
2. Quelle est la nature de cette suite ?
3. Donner une valeur approchée de a8 .
4. À partir de quelle valeur de n l'aire an est-elle inférieure à 1 cm2 ?

Je pense que c'est une suite géométrique de raison 0,25 mais je ne suis pas sure ...
Et pour an+1 = an*0,25
Ce qui donnerai A8=0,000016 si on arrondie
Je n'ai trouvé que ça mais je ne pense pas que ce soit bon

Posté par
matheuxmatou
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 11:39

bonjour

si tu faisais un dessin avec les deux premiers carrés ?

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 12:53

Le schéma nous est déjà donné c'est une spirale de carré emboîte qui sont de plus en plus petits

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 13:23

Bonjour ,
le schéma demandé c'est pour que tu y mettes des noms de points dessus
et donc faire des calculs en les justifiant au lieu de "penser" des trucs au pif.
pour mettre une figure (uniquement des figures, jamais de textes ni de calculs en image)

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


(seule raison de mon intervention : ce lien vers la FAQ, je laisse matheuxmatou continuer)

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 13:41

Bonjour,
Merci pour le lien @mathafou

Pour la figure j'ai écris quelques informations dessus pour m'aider mais je suis bloqué ...

Carré dans le carré

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 14:12

des noms de points pour parler précisément de quel carré, de quel triangle, de quel segment etc
c'est surtout ça qui va permettre de discuter de ce qu'il faut calculer et comment...
(et par exemple de préciser exactement quel segment tu imagines qu'il aurait telle valeur... etc)

Posté par
ZEDMAT
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 14:18

J'ai, moi, suivi le bon conseil de Matheumatou
(d'où sort le 0,75 de TA figure ?)

Carré dans le carré

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 14:43

Je suis parti du principe que chaque carré avait 0,25 en moins donc le 0,75 est le résultat de 1-0,25 ...

Comment avez vous trouvé 0,791 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 14:51

l'hypoténuse d'un triangle rectangle est forcément plus grande que le côté qui vaut 0.75 !

mais encore et encore, pour parler de tout ça précisément il faut des NOMS DE POINTS !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 14:55

par exemple parce que sinon on ne va jamais y arriver :
Carré dans le carré

je t'ai mis un carré rose d'aire visiblement 0.25 montrant que ta réponse "dans le rapport des aires de 0.25" ne tient vraiment pas debout
il est visible que l'aire de EFGH est > celle du carré 1/4 de ABCD

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:08

Donc d'après pythagore EF2=EB2+BF2
Soit 0,75**2 + 0,25**2 = 0,625
Ce qui fait que EF est environ égal à 0,791
Et l'aire de EFGH est de 0,625m2

Du coup an+1 = an*0,375 ?

Carré dans le carré

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:20

passer de 1 à 0.625 c'est multiplier par 0.625 (si, si !!)

On pose an l'aire en m2 du nième carré.
a0 = 1
a1 = 0.625
etc


pas l'aire de ce qu'il reste ou je ne sais quoi d'autre comme bout de truc.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:25

éviter formellement "environ"
"EF est environ égal à 0,791"

c'est surtout que EF2 exactement égal à 0.252 + 0.752 = 0.625 exactement

(on range sa calculette au placard :
EF² = (1/4)² + (3/4)² = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8 = 5*125/1000)

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:37

Je suis d'accord avec vous que a1 = 0,625

Mais pour le mettre sous la force de an+1 et crée ma relation de récurrence il faut que je trouve la raison q

Ahhh je crois que j'ai compris ! La raison q est 0,625 donc an+1= an*0,625

Donc a2=0,625
             a3=0,391
             Etc
Et an= 0,625**n-1 * 1

La nature de la suite est géométrique

A8=0,625**8-1 *1
      = 0,037

A partir de la  11ieme valeur de n l'aire an est inférieure à 1 cm2 car
A11=0,625**11-1 * 1
         = 0,0091
Et 0,0091 m2<1 cm2

Posté par
matheuxmatou
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:51

(merci pour les relais... j'avais dû m'basneter )

Posté par
matheuxmatou
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 15:51

*m'absenter ... c'est incroyable ces inversions de lettres

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 16:01

OK sauf la rédaction :
il y a eu un décalage des indices de 1 cran

a1 = 1 ("le premier carré", a0 n'existe pas)
a2 = 0.625 ( "le deuxième carré" dit l'énoncé
etc

mais tu ne peux pas dire à la fois dans le même message
que a1 = 0.625 (mon numérotage à partir de a0)
et (en partant de a1) a2 = 0.625 !

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 16:04

Oui d'accord je me suis embrouillé car vous aviez pris a0 alors que l'énoncé commence à a1

Donc a1=1
a2 = 0,625
Etc

Est ce ok ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 16:18

oui.

Posté par
Coramaths
re : Carré dans le carré 17-02-21 à 16:29

Merci beaucoup pour votre aide et d'avoir était patient
Bon fin de journée à vous



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