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Carré parfait
Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante :
Trouver les valeurs de x tel que
x4+x3+x2+x+1 soit un carré parfait.
Ce que j'ai fait :
x4+x3+x2+x+1
= x2(x+1)2-x+x+1
= x2(x+1)2+1
= [x(x+1)]2+1
pour x=0 l'équation vaut 1 ce qui est un carré parfait
pour x=1 l'équation vaut 5 ce qui n'est pas un carré parfait
pour x=2 l'équation vaut 31 ce qui n'est pas un carré parfait
pour x= 3 l'équation vaut 118 ce qui n'est pas un carré parfait
...
Jusqu'alors je n'ai trouvé qu'une solution soit x=0.
Merci de m'aider à résoudre ce problème. 
Bonjour,
Une idée .... faire la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = x4+x3+x2+x+1
et de la fonction g définie par g(x) = x2
et réfléchir !
J'ai fait la représentation graphique sur laquelle la seule solution est -1.
On peut retrouver cette solution par le calcul.
Mais pour x=0, les deux courbes ne sont pas sécantes.
Comment cela se fait-il ?
0 n'est-il pas considéré comme un carré parfait ?
hum bon je réfléchis .... 
? Oui mais on peut trouver avec des méthodes non connues en 1ère des réels x tels que
x4+x3+x2+x+1 = 4
x4+x3+x2+x+1 = 16
etc .....
Trouver x un entier positif tel x4+x3+x2+x+1 = un carré parfait , je ne sais pas faire autrement qu'avec la méthode donnée ...aucune solution à part x = 0
Trouver x un entier relatif tel x4+x3+x2+x+1 = un carré parfait , je ne sais pas faire autrement qu'avec la méthode donné .... 2 solutions x = -1 et x = 0
bonjour : )
cocolaricotte
comme il n'est pas précisé que l'on souhaite trouver les valeurs de x tels que f(x) soit le carré parfait de x, en réalité on ne peut pas exploiter ta méthode,
de plus ta méthode supposerait x entier, (mais comment prouver alors qu'un réel non entier ne peut pas être solution ?)
bon, on supposera que c'est bien l'énoncé,
dans ce cas, x = 0 est solution car f(0) = 1 est bien un carré parfait, on peut se concentrer sur la recherche d'autres solutions non nulles,
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2
donne après division par x^2 : x^2 + 1/x^2 + x + 1/x = 0
puis (x + 1/x)^2 + (x + 1/x) - 2 = 0
soit X^2 + X - 2 = 0 avec X = x + 1/x
il ne reste plus qu'à étudier ce second degré,
salut
montre que si x = 0 alors X est un carré parfait ...
ensuite pour x non nul on applique la méthode de mdr_non car on reconnaît un polynome symétrique ....
mdr_non
en effet il n'est pas précisé que l'on souhaite trouver les valeurs de x tels que f(x) soit le carré parfait de x ....
Donc résoudre x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2 n'est pas la bonne méthode .... c'était la mienne et tu est tombé dans le même panneau que moi et carpediem aussi !
Il faut résoudre x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 1
et x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4
et x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 16
et x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 25
etc ....
Pas de précisions sur l'énoncé ? Tu cherches donc les réels tels que
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = un carré parfait ?
Alors bon courage , tu en as pour tout le reste de ta vie !
non je ne suis pas tombé dans le panneau ... je n'ai pas mis de second membre ... 
de toute façon l'énoncé est imprécis ... x désignant en général une variable réelle ....
sinon comme le cocolaricotte alors il y a une infinité de solutions ....
Bonjour à tous,
J'ai eu confirmation du sujet, c'est :
Trouver les valeurs de l'entier naturel x tel que x4+x3+x2+x+1 soit un carré parfait.
De plus je me suis trompée pour x=3 : l'équation est égale à 121, ce qui est un carré parfait.
Les réponses (dans 
) sont donc 0 et 3.
On utilise la méthode de carpediem pour x=0 et celle de mdr_non pour x=-1 et x=3.
Le problème est qu'avec la méthode de mdr_non je trouve comme solutions x1=-1 et x2=(1
i
3)/2
alors que je devrait trouver 3.
Merci de votre aide !
est un carré lorsque le second terme est nul donc x = 0 ou x = -1
mais l'idée de mdr_non ne marche plus ....
et pour trouver 3 ... ben je ne vois pas pour l'instant ....
cocolaricotte
Donc résoudre x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2 n'est pas la bonne méthode .... c'était la mienne et tu est tombé dans le même panneau que moi et carpediem aussi !
et effectivement j'ai bien précisé que ce n'était pas la bonne méthode,
mais j'ai aussi précisé que j'allais supposé que l'énoncé demandait de résoudre ceci x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2 pour simplifier le problème,
car dans ce cas, on est amené à étudier un second degré qui donne une solution unique, totalement adéquat pour un élève de première...
cocolaricotte
comme il n'est pas précisé que l'on souhaite trouver les valeurs de x tels que f(x) soit le carré parfait de x, en réalité on ne peut pas exploiter ta méthode,
de plus ta méthode supposerait x entier, (mais comment prouver alors qu'un réel non entier ne peut pas être solution ?)
bon, on supposera que c'est bien l'énoncé,
dans ce cas, x = 0 est solution car f(0) = 1 est bien un carré parfait, on peut se concentrer sur la recherche d'autres solutions non nulles,
guidou
On utilise la méthode de carpediem pour x=0 et celle de mdr_non pour x=-1 et x=3.
car en posant X = x + 1/x, 0 est valeur interdite,
c'est la raison pour laquelle je l'ai traitée à part,
bon, on supposera que c'est bien l'énoncé,
dans ce cas, x = 0 est solution car f(0) = 1 est bien un carré parfait, on peut se concentrer sur la recherche d'autres solutions non nulles,
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2
donne après division par x^2 : x^2 + 1/x^2 + x + 1/x = 0
puis (x + 1/x)^2 + (x + 1/x) - 2 = 0
soit X^2 + X - 2 = 0 avec X = x + 1/x
Je ne sais pas comment justifier que cela marche aussi pour x=3.
Et surtout comment justifier mes réponses sans une méthode par "test".
Bonjour,
bon, on supposera que c'est bien l'énoncé,
dans ce cas, x = 0 est solution car f(0) = 1 est bien un carré parfait, on peut se concentrer sur la recherche d'autres solutions non nulles,
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2
il faudrait être cohérent avec l'énoncé !
x = 0 est solution car f(0) = 1 est bien un carré parfait
certes, mais ce n'est pas le carré de x !
donc si on prend x = 0 comme solution , c'est que l'énoncé n'est pas de trouver x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^2
mais bien x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = m², m un entier (à priori différent de x !) et x d'ailleurs aussi dans
comme il a été confirmé à à 19:46
J'ai eu confirmation du sujet, c'est :
Trouver les valeurs de l'entier naturel x tel que x^4+x^3+x^2+x+1 soit un carré parfait.
les "petites" valeurs de x peuvent être trouvées facilement par essais (voire en écrivant un algorithme)
chercher toutes les autres semble une entreprise hors de portée du niveau Lycée (points à coordonnées entières sur des courbes elliptiques !!)
avec x < 20000 il n'y en a pas d'autres que celles déja trouvées (0 et 3 dans
, -1 n'est pas dans )
ça ne prouve rigoureusement rien sur l'existence de solutions plus grandes
on peut prouver facilement que x ne peut pas être
2 modulo 4
essayer d'autres modulos ? ça ne semble pas conduire à beaucoup de résultats autres que ce que ne peuvent pas être des solutions ...
Une méthode "sans test" n'existe pas.
on peut exhiber une décomposition artificielle, une fois qu'on a obtenu une solution par un test ...
on fait alors croire que c'est une méthode sans test alors que ce n'est qu'une illusion.
d'ailleurs une méthode du genre :
est un carré lorsque le second terme est nul donc x = 0 ou x = -1
est une sorte de leurre
parce que il suffit que le second terme soit nul
mais rien ne permet d'affirmer quoi que ce soit lorsqu'il n'est pas nul !!
trouver une telle décomposition "artificielle" avec un "second terme" qui s'annule pour x = 3, pourquoi pas ... et alors ?
une "au hasard" :
on cherche
le second terme s'annule pour x = 3 puisqu'il est ("visiblement" ??) égal à
donc il suffit que x = 3 dans cette expression pour que f(x) soit le carré de x²+2 
en fait on a fabriqué ces écritures de f(x) que parce qu'on connaissait deja et par ailleurs les solutions x = 0 ou x = 3
en écrivant artificiellement f(x) = m² + g(x), connaissant déja m = 1 ou m = 11 et la valeur de x correspondante.
f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
(2x^2 + x + 1)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 > 4*f(x) du moment que x > 3 (égalité pour x = 3 ou que x = -1 exclu car x entier naturel)
4*f(x) > (2x^2 + x)^2 = 4x^4 + 4x^3 + x^2 pour tout x,
on réussit donc à encadrer 4*f(x) par deux carrés d'entiers consécutifs (2x^2 + x + 1)^2 > 4*f(x) > (2x^2 + x)^2
pour x > 3
donc pas de solutions possibles pour x > 3
il reste à tester x = 0, ok ça marche,
x = 1, non f(1) = 5 n'est pas un carré parfait,
f(2) = 31 n'est pas un carré parfait,
f(3) = 121 = 11^2
conclusion, les solutions sont uniquement 0 et 3,
je ne suis pas d'accord ...
je ne connaissais nullement les réponses quand je me suis mis à bricoler f(x) ....
l'idée plus simple est que quand on demande un carré ... ben on essaie d'en faire apparaître un ...
épictou ....
et j'ai choisi ce que j'ai choisi uniquement que parce que tous les coefficients sont 1 ...
et je n'ai rien prétendu de plus que d'obtenir ce que j'ai obtenu :: une condition suffisante ....
certes j'eus aimé qu'elle soit nécessaire aussi .... mais ce n'est pas le cas ....
Bonjour,
Je pense à une autre voie,pas du tout dans le cadre d'un exercice de terminale;
rechercher une fonction f(x) dont la forme est stable pour l'itération,je pose les bases:
(1)
Condition :les coefficients
il existe une valeur initiale donnant un 'radical' entier ici 0 ,
L'identification des coefficients pourrait se faire à partir d'un polynôme symétrique,
Alain
bof ... m'étonnerait qu'on puisse donner ça en terminale ...
l'idée la plus brillante ... et j'en suis jaloux !!! 
... mdr l'a donnée :: encadrer par deux carrés ....
Bonsoir,
Serions-nous d'accord pour reconnaître le niveau très élevé de la question posée?
Nous pouvions tenter des équations polynomiales telles que:
pour a=1 ; 2 valeurs x=0 ,x=3
pour a=2 ...
Alain
Bonjour bonjour (je sais que je réponds avec 5 années de retard mais bon ^^' ),
Pour l'énoncé on cherche les entiers relatifs x tel que :
1+x+x^2+x^3+x^4 donne un carré parfait.
Soit x
et y,
x⁴+x³+x²+x+1= y²
Alors 4x⁴+4x³+4x²+4x+4 =4y² = (2y)²
Ainsi (2x²+x)² + (3x²+4x+4 )= (2y)²
Le Δ de 3x²+4x+4 est négatif (pas de solution pour que ce soit égal à 0), donc l'expression est tjrs positive car signe de a est positif.
On peut donc affirmer que (2x²+x)²>(2y)²
Or 2y 
0 (car y)
Et 2x²+x= x(2x+1)
x(2x+1)<0 (pour trouver on cherche d abord les racines de x(2x+1)=0, qui sont x=0 et x=-1/2)
Donc x(2x+1)<0 ssi x]-1/2;0[ , or xZ donc x 
]-1/2;0[
Donc obligatoirement x(2x+1) 0
Et 2x²+x<2y (retenez le bien)
Ensuite on donne : (2x²+x+1)²=4x⁴+x²+1+4x²+2x+4x³
=4x⁴+4x³+5x²+2x+1
Donc (2x²+x+1)²-x²+2x+3 = 4x⁴+4x³+4x²+4x+4 = 4y²
Soit (2x²+x+1)²-(x²-2x-3) = (2y)²
On factorise x²-2x-3 = (x+1)(x-3)
Et (x+1)(x-3) > 0 ssi x<-1 ou x>3
Donc seulement si x < -1 ou x >3, x²-2x-3 > 0, donc (2x²+x+1)² > (2y)²
Comme on l'a déjà vu, 2y0, donc 2x²+x+1 >0 (on peut aussi vérifier avec Δ, qui est négatif donc l'équation est tjrs positive car signe de a positif).
OR (2x²+x+1)² > (2y)²>(2x²+x)²
Ainsi l'entier 2y est strictement entre 2 entiers consécutifs.
(Ce qui est impossible car y, donc forcement x [-1;3] )
QEA (quod est absurdum)
Synthèse :
Nécessairement : x {-1;0;1;2;3}
Si x=-1 
f(-1)= 1 = 1² OK
Si x= 0 f(0) = 1 = 1² OK
Si x= 1 f(1) = 5 pas un carré
Si x= 2 f(2) = 31 pas un carré
Si x= 3 f(3) = 121 = 11² OK
Les solutions sont donc -1, 0 et 3.
Bonjour,
Si j'ai bien compris, " ce que mdr_non propose en trois lignes " est daté du 30/11/2015 à 23h40.
Ce qu'il proposait auparavant, genre f(x) = x2, ne répondait pas à la question.
C'est bien ça ?
Kiwano27 reprend l'idée d'encadrer f(x) par deux carrés consécutifs proposée par mdr_non
c'est un bel effort fort respectable bien sûr de tout détailler ...
entre les deux on peut cependant être un peu plus concis et aller à l'essentiel ou être plus efficace dans certains résultats :
est la somme de deux carrés donc est positif
ces deux carrés ne sont pas simultanément nuls donc cette somme est strictement positive même ...
ensuite le signe de 2x^2 + x est inutile et tu te perds dans des considérations inutiles
une fois que l'on a c'est fini :
il n'y a pas de carré parfait entre les carrés de deux entiers consécutifs :
entre il n'y a pas de carré parfait !!!
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