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Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 26-12-04 à 10:30

Bonjour tout le monde, je coince un peu sur cette question de mon exo... Serait-il possible d'avoir des explications

Dans un repère orthonormé, on donne A(4;0) et C(0;4). A tout réel m de l'intervalle I=[0;8], on associe les points M et N de coordonnées respectives (4;m) et (0;8-m) et on note G1 et G2 les centres de gravtié des triangles AMN et OAN.

Démontrez que G1 est fixe et que G2 décrit un segment lorsque m décrit I.

Voila... j'espère que vous pourrez m'aider
En tout cas j'espère que vous n'avez pas d'indigestion et que les fêtes de noël se sont très bien passée, de mon coté, dans mon coin pommé de Normandie il neige
Merci d'avance

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 11:19

Coucou puisea,

Le centre de gravité G1 a pour coordonnées :
((4+4+0)/3;(0+m+(8-m))/3) soit (8/3;8/3) donc G1 est fixe.

De même pour G2.

A toi d'essayer.

Pas d'indigestion pour Noël mais un gros déficit de sommeil (surtout avec bébé )

@+

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 15:21

A mon avis il me manque des notions, car je ne comprends pas très bien le calcul de coordonnées... Pourrais-tu mettre sous forme littérale (xa,xc,xm,xn ....) et m'expliquer pourquoi tu divises le tout par 3

Merci beaucoup Victor !!

_________________________________________________

Je comprends que les nuits doivent être courte avec un petit enfant aussi jeune, repose-toi bien, il faudrait pas repartir travailler plus fatigué que lorsque tu es arrivé en vacances

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 15:27

J'ai compris à quoi correspondait les valeurs, mais pourrais-tu me communiquer la formule utilisée...

Le fait d'ajouter les abscisses de chaque points et de les diviser par trois puis de même avec les ordonnées... J'aimerai comprendre ce calcul...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 16:02

Je refais monter mon message, pour que notre brave Victor l'apercoive dans le flot constant de nouveau sujet Que ferions nous sans notre Victor

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 19:08

Posté par
Nightmarere : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 19:10

Etant donné que victor n'est pas présent sur le site pour le moment il lui sera dur de te donner la réponse puisea


Jord

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 19:14

oui je me doute mais il n'y a pas que lui sur ce forum donc je refais tout de même monter le message en espérant  une réponse à ma question

Posté par
Nightmarere : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 19:34

Re

Pour comprendre , Donne les coordonnée du milieu I de [AM] par exemple puis utilise la relation :
\vec{NG}=\frac{2}{3}\vec{NI}


Jord

Posté par Emma (invité)re : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 20:13

Je reprends les notations de Nightmare : si I est le milieu de [AM], alors I (\frac{4+4}{2} ; \frac{m+0}{2}) et donc I (4 ; \frac{m}{2})

Or \vec{NG_1} = \frac{2}{3}.\vec{NI}.

Donc

* x_{G_1}\;-\;x_{N} = \large \;\;\frac{2}{3}\;.\;(x_{I}\;-\;x_{N})
Donc x_{G_1}\;-\;0 = \large \;\;\frac{2}{3}\;.\;(4\;-\;0)
Et donc x_{G_1} = \large \;\;\frac{8}{3}

* y_{G_1}\;-\;y_{N} = \large \;\;\frac{2}{3}\;.\;(y_{I}\;-\;y_{N})
Donc y_{G_1} = \large \;\;\frac{2}{3}\;.\;y_{I}\;-\;\frac{2}{3}\;.\;y_{N}\;+\;y_{N}
Et donc y_{G_1} = \large \;\;\frac{2}{3}\;\times\;\frac{m}{2}\;+\;\frac{1}{3}\;.\;(8\;-\;m)
Ainsi, y_{G_1} = \large \;\;\frac{m}{3}\;+\;\frac{8}{3}\;-\;\frac{m}{3}
D'où y_{G_1} = \large \;\;\frac{8}{3}

* Ainsi, quel que soit m dans I, G_1\;(\large \;\;\frac{8}{3}\;;\;\large \;\;\frac{8}{3}\; ).
Donc lorsque m décrit I, G_1\ reste fixe.

----------

Posté par Emma (invité)re : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 20:14

oups

Bon, je rédige pour G2...

Posté par
Nightmarere : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 20:16

Petit accrochage de latex réparé Emma


Jord

Posté par Emma (invité)re : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 20:28

merci, Nightmare !

snifff : alt + w... ça ferme l'onglet actif...

Posté par Emma (invité)re : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 26-12-04 à 20:40

Bon, donc, suite à une fausse manip'... mes calculs sont perdus...

Je ne les retape pas, car ils ne posaient pas de grande difficulté : la technique était la même que pour G_1, en introduisant le point J milieu de [OA] : J(2 ; 0)

Après calculs, je trouvais que
x_{G_1} = \large \frac{4}{3}

Donc on en déduit que <font color=blue>le point G_2 appartient à la droite d'équation x = \blue \large \frac{4}{3}</font>

----------

D'autre part, j'ai calculé que y_{G_1} = \large \frac{8\;-\;m}{3}

Donc, lorsque m décrit l'intervalle [ 0 ; 8 ],
(- m ) décrit l'intervalle [ -8 ; 0 ],
et donc ( 8 - m ) décrit l'intervalle [ 0 ; 8 ].

Ainsi, lorsque m décrit l'intervalle [ 0 ; 8 ], \;\;\;y_{G_1} = \large \frac{8\;-\;m}{3}\;\; décrit l'intervalle [ 0 ; \large \frac{8}{3} ].

Soit K le point de coordonnées (O ; \large \frac{8}{3} ).

Alors, lorsque m décrit l'intervalle [ 0 ; 8 ], \;\;y_{G_1}\;\; décrit l'intervalle [ y_{J} ; y_{K} ].

----------------

Finalement, lorsque m décrit l'intervalle [ 0 ; 8 ], \;G_1\; décrit le segment [JK] \;\; où\;\;J ( 2 ; 0 )\;\;et\;\; K ( 2 ; \large \frac{8}{3} )

@+

Emma

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 10:14

Merci beaucoup Emma, j'y vois plus clair, je vais essayer de reprendre ca tout seul merci

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 10:34

Euh, je commence a vraiment être déconcerté, en effet la question suivante me pose également problème...

On me demande de calculer en fonction de m l'aire de AMN...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 11:23

Décidemment, j'accumule !!
On me demande de calculer en fonction de m les coordonnées de G, centre d'inertie de la plaque homogène OAMN...

J'ai fait comme suit, et le problème est qu'il ne reste plus de m ...

Soit G le barycentre de {(O,1)(A,1)(M,1)(N,1)}

\vec{OG}=\frac{1}{4}\vec{OA}+\frac{1}{4}\vec{OM}+\frac{1}{4}\vec{ON}

x_G-x_O=\frac{1}{4}(x_A-x_O)+\frac{1}{4}(x_M-x_O)+\frac{1}{4}(x_N-x_O)

x_G-0=\frac{1}{4}(4-0)+\frac{1}{4}(4-0)+\frac{1}{4}(0)

x_G=2


y_G-y_O=\frac{1}{4}(y_A-y_O)+\frac{1}{4}(y_M-y_O)+\frac{1}{4}(y_N-y_O)

x_G-0=\frac{1}{4}(0)+\frac{1}{4}(m-0)+\frac{1}{4}(8-m-0)

y_G=\frac{m+8-m}{4}

x_G=2

Voila, donc je suppose qu'il y a une erreur quelque part.... serait-il possible de m'éclairer...

Donc pour résumer j'ai des difficultés pour calculer en fonction de m l'aire de AMN, et pour trouver les coordonnées de G, centre d'inertie de la plaque homogène OAMN en fonction de m

Merci d'avance !

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 12:00

Bonjour puisea,

Désolé de ne pas t'avoir répondu plus tôt mais les autres gentils correcteurs (et correctrices) s'en sont chargés à ma place et de brillantes manières. En fait pour les coordonnées, j'utilise une formule qui est très utile.
Soit G le barycentre de (A,a)(B,b)(C,c) avec A de coordonnées (xA;yA),...
On a alors :
G((axA+bxB+cxC)/(a+b+c);(ayA+byB+cyC)/(a+b+c))
Mais tu n'as sûrement pas vu cette formule pourtant très pratique.

Pour en revenir à ta dernière question, je ne vois pas d'erreur dans tes calculs. Pourquoi supposes-tu qu'il y a une erreur quelque part ?

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 12:05

Pour l'aire de AMN, on a la formule suivant :
Aire(AMN)=AM*NH/2 où H est le pied de la hauteur issue de N dans le triangle AMN.
Si tu a fait une figure, tu remarques que (MA) est parallèle à l'axe des ordonnées donc NH=OA=4
et MA=m
Donc
Aire(AMN)=4*m/2=2m

A vérifier.

Signé : le brave Victor

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 12:49

et bien pour la question des coordonnées de G, il est demandé mot pout mot : "Calculez en fonction de m les coordonnées de G" or si l'on a "en fonction" cela veut dire que le résultat comprend des m, non ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 12:54

Je viens de lire tes explications sur l'aire du traingle AMN, et je dois dire que je ne comprends pas cette implication : "tu remarques que (MA) est parallèle à l'axe des ordonnées donc NH=OA=4"

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 13:28

De plus, pour les coordonnées de G, on demande dans la question suivante de trouver l'ensemble des points G lorsque m décrit i... :?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 14:16

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 15:05

NEED

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 16:17

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 16:25

J'y réfléchis Puisea

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 27-12-04 à 16:33

Le point G est vraiment fixe. Ses coordonnées ne dépendent pas de m. Bizarre !
Vérifie ton énoncé.

Pour l'aire du triangle, ce que je voulais dire est que le quadrilatère OAHC forme un rectangle donc OA=CH=hauteur du triangle.

N'hésite pas à redemander des précisions.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 10:26

euh OAHC ne forme pas un rectangle, si l'on prend par exemple pour m=1

-->

Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 16:26

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 18:12

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 20:03

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 23:03

Victor si tu passes par là

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 28-12-04 à 23:07

Juste en passant, une petite correction :
OAHN est un rectangle donc HN=OA.
Sur ta figure, le point H est mal placé. H est le pied de la hauteur issue de N.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 29-12-04 à 09:35

C'est bon, j'ai compris !! merci beaucoup Victor !! c'est vrai que vu que A et M sont sur une même abscisse et que N est sur l'axe y'y alors la hauteur est équivalente à OA...

Merci Victor

Posté par
Victorre : Centre d inertie. Etude de fonctions. Lieux géomtriques 29-12-04 à 10:29

Tant mieux

A bientôt.


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