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Centre de symétrie d'une fonction

Posté par
Ninja
11-11-12 à 10:48

Bonjours à tous.
Je rencontre un problème dans mon exercice concernant le centre de symétrie d'une fonction car je n'ai jamais abordé le centre de symétrie, mais seulement l'axe.
Voici l'énoncé:
Soit f(x)=x3-3x+1
Montrer que I(0;1) est centre de symétrie de Cf.

Merci aux personnes qui pourront m'apporter une aide.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 10:52

Bonjour,

Il te faut faire un changement de repère de (O,x,y) en (I,X,Y et montrer que ta nouvelle fonction Y=f(X) est impaire dans ce nouveau repère.

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 10:54

Désolé mais je n'ai pas bien compris.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 11:08

Ta courbe est bien dans un repère (0,x,y) ?

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 11:16

Plus connecté(e) ? ... ça va être dur.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 11:28

Voilà ta courbe dans le repère (0,x,y) d'origine O(0,0), et dans le repère \green{(I,X,Y)} d'origine I(0,1)

Centre de symétrie d\'une fonction

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 11:43

Je ne comprends pas ce changement de repère. Pourquoi faut-il calculer la parité de la fonction?

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 12:04

On ne "calcule" par une parité ...
Met toi dans le repère (I,X,Y) en vers ci-dessus, donc I pour origine (et non plus O) et les axes X et Y (et non plus x et y)

Tu vois bien que dans ce nouveau repère, ta fonction est impaire.

Or, une fonction impaire admet l'origine (donc ici I) comme point de symétrie.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 12:05

On ne "calcule" pas une parité (voulais-je dire ...)

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 12:39

Merci beaucoup! J'ai trouvé une formule me permettant de calculer le centre de symétrie de la fonction: I(a,b) est centre de symétrie si f(a+x)+f(a-x)=2b.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 12:44

Oui, il y a aussi le changement de repère, écrire X en fonction de x et Y en fonction de y.

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 15:34

Je n'ai pas vu cette méthode sur internet. Seul la formule était donnée.

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 16:06

Regarde.

Si tu te mets en I, tu as bien :

X=x
et
Y=y-1

Es-tu ok avec cela ?

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 17:35

Supposons que tu sois Ok.

Donc

X=x    ==> x=X
et
Y=y-1  ==> y=Y+1

Tu as y=f(x)

Donc Y+1=f(X)

Donc Y=f(X)-1=X^3-3x+1

D'où Y=X^3-3X

et donc f(X)=X^3-3X

On a f(-X)=(-X)^3-3(-X)=-X^3+3X=-(X^3-3X)=-f(X)

La fonction f est donc bien impaire dans ce nouveau repère (I,X,Y), elle admet donc I comme centre de symétrie.

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 19:23

D'accord. Donc quand la fonction est impaire, il y a obligatoirement un centre de symétrie. Mais comment démontrer que c'est le point I?

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 19:31

Comme je t'ai expliqué.

Posté par
Ninja
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 20:29

Ok merci beaucoup!

Posté par
Leonegres
re : Centre de symétrie d'une fonction 11-11-12 à 22:45



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