Bonjour, je n'arrive pas à faire quelques questions d'un exo. J'ai lu plusieurs autres topic sur le cerlce d'Euler mais je n'ai pas eu de réponse à ma question. Pouvez vous m'aider svp?

Enoncé:    On considère un triangle ABC dans le plan et on note A' B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB], puis Ha et Hb et Hc les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A, B et C. Enfin, on désigne par O , G et H les points de concours respectifs des médiatrices, des médianes et hauteurs du triangle. Soit h l'homothétie de centre G et de rapport -1/2 et h'celle de centre H et de rapport 1/2.

1) Quelle est l'image C' , par l'homothétie h, du cerle C circonscrit au triangle ABC ? On note son centre.

Je sais que C' est le cercle d'Euler et que le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit mais je ne sais pas comment le démontrer.

2)Montrer que est le milieu du segement [OH] et que C' passe par les milieux des côtés du triangle ABC.

J'ai réussi à démontrer que est le milieu du segement [OH] mais je ne sais pas comment faire pour prouver que C' passe par les milieux des côtés du triangle ABC.

Pouvez vous m'aider svp?
merci d'avance