Bonjour,

j'ai bien une démonstration
mais pas avec les angles orientés et pas de niveau première

la partie qui est du niveau :
lemme : (théorème de Varignon, facile à démontrer même au collège)
dans un quadrilatère ABCD, soient E,F,G,H les milieux des cotés
le quadrilatère EFGH est un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diagonales de ABCD
corollaire : EFGH est un rectangle ssi ABCD a ses diagonales perpendiculaires.



Ici ABCD est le quadrilatère formé par les points de contact des tangentes à (C)
PB et PD étant deux tangentes issues de P, au final ABCD a ses diagonales perpendiculaires
le quadrilatère EFGH est donc un rectangle et a donc ses sommets EFGH sur un même cercle Γ

et maintenant la partie hors niveau :
IA et IB étant deux tangentes en A et B, la corde (AB) est la polaire de I par rapport à (C)
en d'autres mots I et E sont inverses par rapport au cercle (C)
et de même pour J et F etc

le points EFGH étant cocycliques, leurs inverses IJKL le sont aussi.

Bonjour,
Après avoir vu que les droites (AC) et (BD) sont parallèles à D₁ et D₂ , on peut démontrer directement le rectangle EFGH, en utilisant les segments des milieux dans les triangles ABC , BCD , CDA et DAB.

Continuer en utilisant les angles formés par les tangentes ???
Par exemple, dans le triangle isocèle ABI, les 2 angles en A et B égaux aux angles en C et D des triangles ABC et ABD .
A voir.

Bonjour Sylvieg
"en utilisant les segments des milieux dans les triangles ..."
c'est bien ce que je disais par "facile à démontrer même au collège", c'est à l'utilisation du segment des milieux que je pensais
que ce soit dans le cas général ou dans le cas particulier d'un quadrilatère "orthodiagonal"

bien vu le début avec les angles
reste à poursuivre ... c'est assez facile



une fois l'égalité des angles verts et l'égalité des angles rouges obtenues, on poursuit avec le triangle rectangle BMC donnant une relation entre les angles verts et rouges

puis le calcul de l'angle I en fonction de l'angle B dans IAB
et pareil dans KCD
donnera la relation voulue entre les angles I et K achevant la démonstration

et en fait EFGH ne sert absolument à rien du tout.

à gnomgalileen de rédiger tout ça maintenant que l'enchainement des bons angles est trouvé.
...

Bravo mathafou d'avoir abouti
Il est vrai que le rectangle embrouillait un peu ma figure. Mais j'étais persuadée que la propriété d'angle de la tangente était la clef.
Pour un "exercice d'angles orientés", on est un peu désorientés

moi j'étais parti au départ sur les propriétés plus ou moins connues des quadrilatères "bicentriques" (ceux qui admettent à la fois un cercle circonscrit et un cercle inscrit) et en particulier sur un théorème déniché dans un bouquin en anglais :
si un quadrilatère est circonscrit à un cercle, ses sommets appartiennent à un autre cercle si et seulement si les droites joignant les points de contact des côtés opposés sont perpendiculaires.

qui est très exactement ce que veut démontrer cet exo.
la démonstration du bouquin était juste suggérée et renvoyait à d'autres théorèmes précédents faisant intervenir des faisceaux de cercles etc que j'avais simplifiée avec mon histoire d'inversion.
et même que au départ mon cercle bleu passant par les milieux de ABCD passait par d'autres points encore plus superflus, mais intervenant dans la démo du bouquin sur des ensembles de points dont le rapport des puissances à deux cercles donnés est constant etc.
bref une horreur cette démonstration là par empilement de théorèmes successifs

d'où mon errance initiale
heureusement que tu as bien recentré le débat !

merci a tous ça exactement ce qui me reste a trouver la solution

De rien gnomgalileen.
Concentre toi sur le message de mathafou de 11h57.
Tout y est.

Enfin presque

oui, j'ai donné le squelette, il reste à rédiger la chair autour.