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Code à 4 chiffres distincts (PROBAS)
Salut à tous,
Alors voici mon problème:
Un homme a installé une porte à 'DIGICODE' à 4 chiffres
chez lui. Seulement voilà le problème : il ne se rappelle plus du
code.
*Cependant il se rappelle des 4 chiffres (on les notera A,
B, C et D). Ces 4 chiffres sont distincts entres eux :
A 
B C
D
Sachant que l'alarme ne se déclenchera que si et seulement
si les 4 chiffres son faux (c'est-à-dire, ici, placés au mauvais
endroit), Quelle est la probabilité que notre homme
déclenche l'alarme?
Alors voici comment j'ai procédé (et oui je suis pas un fumiste complet
non plus 
) : j'ai utilisé un tableau.
Supposons que le code soit :
ABCD
Envisageons toutes les possibilités de codes (il y en aura 4*3*2*1=24 combinaisons
possibles avec ces 4 nombres) et soulignons ceux qui ne feront
pas se déclencher l'alarme :
avec A en 1er : avec B en 1er :
A B C D B A C D
A B D C B A D C
A C B D B C A D
A C D B B C D A
A D B C B D A C
A D C B B D C A
avec C en 1er : avec D en 1er :
C A B D D A B C
C A D B D A C B
C B A D D B A C
C B D A D B C A
C D A B D C A B
C D B A D C B A
On voit donc bien qu'il y a 9 combinaisons sur les 24 possibles
qui feront sonner l'alarme, soit une probabilité de :
9/24 cad de 3/8
Alors pourquoi ai-je écris ce POST me direz-vous?
En fait j'aimerais savoir tout d'abord si ce résultat est
juste mais surtout s'il n'existe pas une manière de calculer
cette probabilité beaucoup plus facilement que en utilisant des tableaux
(parce que là on a que 4 chiffres mais si le jour du BAC notre cher
propriétaire a un DIGICODE surdévellopé de 20 chiffres, je vais m'amuser
moi avec mes tableaux 
) ?
Donc voilà comment faire pour calculer cette probabilité autrement et
beaucoup plus facilement qu'en réalisant une simulation???
Merci à tous d'avance et à bientôt.
Belge*FDLE
Bonsoir,
Moi ossi je pense qu'il y une solution, mais laquelle me diriez-vous?
Peut être fodré til demandé à notre admin préfére: Océane...lol
Je suis sûre kelle possède la réponse à ta question..
Sinon, si ta rien à faire, essaie o pif:
(nb de termes -1 )/ (2*nb de termes)
mais c'est vraiment o pif..
allez, bon courage kevin.
@+
Bonsoir,
la méthode du tableau (ou de l'arbre) me semble être une bonne
idée pour résoudre ce type de problème même s'il est inutile
d'écrire les 24 combinaisons.
On sait par exemple que le code faux ne commence pas par A, ensuite
si il commence par C par exemple, il ne se poursuit pas par B, etc...
Mais, à priori, je ne crois pas que le calcul du nombre de codes sans chiffre
en commun soit si évident que ça et on ne te demanderait certainement
pas le même exo avec 20 chiffres.
Mais c'est une bonne question et j'y réfléchis.
@+
Merci à toi Viktor de t'intéresser à mon problème (et même à
ce cher fou de maths (alias Gillou) pour son humour). Il m'a
vraiment pris la tête cet exo et g pas fait de progrès dessus.
Et que le rectorat t'entende pour les 20 chiffres .
Au fait, si tu pouvais aller jeter un coup d'oeil sur l'exos
probas de Marie. J'ai fait quelque trucs mais à la fin je trouve
un véritable CaRnAgE. Donc si tu pouvais vérifier ce serait cool
(pour moi comme pour elle ).
Merci encore et à plus. 
Pour terminer sur ce sujet, je viens de trouver la formule (très
compliquée) pour calculer le nombre de codes de n chiffres n'ayant
aucun chiffre en commun avec le code initial :
n! x (1/2!-1/3!+1/4!+....+(-1)n/n!)
où n! désigne factorielle n soit 1 x 2 x ... x n.
Pour n = 4, on retrouve :
4! x (1/2-1/6+1/24)=24*(9/24)=9 (c'est un peu plus difficile que
de faire un arbre).
Déjà pour n=10, on trouve 1334961 codes possibles (l'arbre devient
très difficile à faire 
)
Alors pour n=20, le nombre de codes est de l'ordre de 1018.
Je pense sincèrement que l'on peut difficilement demander ce
type d'exercice.
@+
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