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Coefficient directeur...

Posté par rom (invité) 01-10-04 à 14:09

Voici une partie de mon devoir maison que je n'arrive pas à comprendre, pourriez-vous m'aidez:

On appelle P la parabole d'équation y=x²-4x+5 dans un repère orthonormé(0;;)

Soit A le point de coordonées (1;3) etm la droite passant par le point A et de coefficient directeur m. On note M1 et M2 les points d'intersection dem et de P.

1.a.Démontrer que les abscisses des points M1 et M2 sont le solutions de l'équation: x²-(4+m)x+m+2=0 (1).

1.b.Démontrer, sans résoudre l'équation (1), qu'elle admet deux solutions distinctes pour toute valeur de m.

Merci d'avance.

Posté par somarine (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:20

Bonjour Rom,

Tout d'abord, je te propose de calculer l'équation de droite de m.
Ensuite pour trouver les coordonnées de M1 et M2, il te suffit de résoudre l'équation suivante.

Eq de droite de m=équation de P.

As tu compris?

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:25

ouais ok mais comment fait-on déjà pour calculer l'équation d'une droite?

Posté par somarine (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:27

En faisant Eq de droite de m=équation de P, tu retrouveras ce qu'il te demande.

Pour faire la 2ème question, je te propose de calcumer le discriminant car on sait que si le discriminant est strictement positif alors, l'équation admet exactement 2 solutions distinctes.

C'est Bon???

Posté par somarine (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:30

L'équation d'une droite est y=ax+b
avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Pour déterminer a c'est facile puisqu'on te dit que c'est m le coeff directeur.

Ensuite, pour déterminer b, tu sais que A appartient à cette droite donc les coordonées vérifient l'équatuion de droite de m.

As tu compris???

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:30

Ok merci, je vais essayer de le faire.

Posté par flofutureprof (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:32

1) a) m est une droite de coefficient directeur m donc m(x)= mx+b.

Or tu sais aussi que cette droite passe par le point A ; donc les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite !
on obtient que : 3= m*1+b d'où b= 3-m
ainsi m(x)= mx+3-m

Les points M1 et M2 sont les points d'intersection de la droite et de la parabole...leur coordonnées vérifient donc et l'équation de la droite et l'équation de la parabole :

Soit y l'ordonnée d'un point d'intersection de la droite et de la parabole, et x son abscisse.
alors y= mx+3-m et y= x²-4x+5 donc mx+3-m= x²-4x+5
cad x²-4x+5-mx-3+m=0 x²-(4+m)x+m+2=0 (1).

b) il suffit de vérifier que le discriminant de cette équation est strictement positif ( pour avoir deux racines distinctes car si le discriminant est égal à 0 on a une racine double ).
b²-4ac= (4+m)²-4(m+2)
        = 16+8m+m²-4m-8
        = 8+4m+m²=(m+2)²+4>0
voilà voilà

Posté par gainsbarre (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:32

Y=mx+P
A appartient à la droite donc ses coordonnées verifient l'equation.
Reste à exprimer P en fonction de m et de le remplacer dans l'equation y=mx+p.
M1 et M2 appartiennent à la parabole et à la droite en meme temps donc dans l'equation de la parabole tu remplace y par l'equation de la droite ( celle avec que des m) et tu calcules

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:34

merci beaucoup

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:40

Les droites de coeff directeur = m ont toutes des équation de la forme:
y = mx + k

Si on veut celle qui passe par A(1 ; 3) ->

3 = m + k
k = 3 - m

-> La droite de coeff directeur = m et passant par A a pour équation: y = mx + 3 - m
-----

Pour rechercher les point d'intersection de la droite et de la parabole, il faut résoudre le système:
y = x² - 4x + 5
y = mx + 3 - m

x²-4x+5 = mx+3-m
x² -x(4+m) + 2 + m = 0

Les abscisses cherchées sont solutions de cette équation.
-----
Il y a 2 solutions distinctes si le discriminant de l'équation est > 0

Discriminant = (4+m)² - 4(2+m)
Discriminant = m² + 8m + 16 - 8 - 4m
Discriminant = m² + 4m + 8 = (m+2)² + 4
-> Discriminant > 0
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 14:41

Le temps de rédiger ... et plusieurs réponses sont arrivées.

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 15:30

je ne comprends pas pourquoi:
b²-4ac= (4+m)²-4(m+2)
        = 16+8m+m²-4m-8
        = 8+4m+m²=(m+2)²+4>0
Démontre qu'elle admet deux solutions distinctes pour toute valeur de m.

Autre question à la suite de l'énoncé que j'ai donné:
Démontrer que le point A est le milieu de [M1M2] si et seulement si m=-2.

Merci d'avance.

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 15:59

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 16:54

x² -x(4+m) + 2 + m = 0

Les solutions de cette équation sont données par:

 x = \frac{4+m\pm\sqrt{(4+m)^2-4(2+m)}}{2}
soit
 x = \frac{4+m\pm\sqrt{m^2+4m+8}}{2}  

Les 2 solutions sont:
 x = \frac{4+m-\sqrt{m^2+4m+8}}{2}  
 x = \frac{4+m+\sqrt{m^2+4m+8}}{2}  
Elles n'existent que si m²+4m+8 >= 0 (à cause de la racine carrée)

Mais si  m²+4m+8 = 0, alors les 2 racines sont identiques.

Si on veut qu'il y ait 2 solutions distinctes, il faut et il suffit que: m² + 4m + 8 > 0

Et c'est le cas puisque m²+4m+8 peut s'écrire (m+2)² + 4 , somme de 2 carrés non nuls et donc forcément > 0
-----
Le point lilieu de [M1M2] a pour abscisse, la moyenne arithmétique des abscisses de M1 et M2

Dis autrement si x1 et x2 sont les abscisses de M1 et M2, l'abscisse du point milieu de [M1M2] est = (x1+x2)/2
Avec
 x1 = \frac{4+m+\sqrt{m^2+4m+8}}{2}  
et
 x2 = \frac{4+m-\sqrt{m^2+4m+8}}{2}  

(x1+x2)/2 = (4+m)/2
Si on veut que ce point ait la même abscisse que A , soit 1, il faut que m = -2

Comme le point milieu de [A1A2] est sur la droite m, on trouve son ordonnée en remplaçant x par 1 et m par -2 dans l'équation de m
->  y = 1*(-2) + 3 -(-2) = 3.
Le point milieu de [M1M2] a pour coordonnées (1,3) donc celle de A si et seulement si m = -2.
-----
Sauf distraction  


Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 20:16

Merci beaucoup avec toutes ces informations je comprends tout.
Il reste toutefois quelques zones d'ombres pour l'exercice suivant qui est la suite de l'énoncé cité en premier lieu:

2.On considère la droite Dp d'équation y=-2x+p, avec p.

a.Justifier que les droites -2 et Dp sont parallèles pour toute valeur de p.
b.Démontrer qu'il existe une valeur de p pour laquelle la droite Dp et la parabole P ont un unique poit commun B.
Calculer cette valeur de p et les coordonées du point B.
Que représente alors la droite Dp pour la parabole P?
c.Quelle remarque peut-on faire sur les abscisses des points A et B.

Je sais cela fait un peu beaucoup mais j'y passe du temps sans pour autant trouver un résultat concret.

Merci infiniment d'avance.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Coefficient directeur... 01-10-04 à 20:53

2)
a)

(-2) : y = -2x + 5
Dp: y=-2x+p,

Les 2 droites ont le même coefficient directeur (soit -2), elle sont donc parallèles.
-----
b)
Soit le système:
y=x²-4x+5
y = -2x+p

x²-4x+5 = -2x+p
x²-2x+5-p = 0

Il y  aura une racine double si le discriminant de cette équation est nul, soit:
2² - 4(5-p) = 0
1 - (5-p) = 0
5-p = 1
p = 4

On a alors x²-2x+5-p = 0
x²-2x+1 = 0
(x-1)² = 0
-> racine double en x = 1 pour p = 4.

B est sur Dp: y = -2x+p -> y = -2+4 = 2
-> B(1 ; 2)
-----
c)
A et B ont la même abscisse, soit 1.
-----
Sauf distraction.  







Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 02-10-04 à 00:28

Juste une dernière chose toujours en rapport avec l'énoncé précèdant:
Soit D la droite d'équation y=ax+b, avec a et b nombres réels quelconques, qui coupe la parabole P en deux points distincts M3 et M4.

1.a. Démontrer que les abscisses des points M3 et M4 sont les solutions de l'équation x²-(4+a)x+(5-b)=0.
b.Déterminer l'abscisse du milieu I de [M1M2] en fonction de a.
2.a.Déterminer en fonction de a, la valeur de b pour la quelle la droite D et la parabole P ont un unique point commun.
b.Exprimer l'abscisse de ce point commun T en fonction de a.
c.Que remarque-t-on sur les abscises des points I et T.

C'était la dernière chose que je vous demendai et encore merci d'avance.

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 02-10-04 à 09:36

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 02-10-04 à 10:58

re

Posté par rom (invité)re : Coefficient directeur... 02-10-04 à 13:18

pourquoi vous ne me répondez pas?

Posté par rom (invité)exo sur les droites... 02-10-04 à 14:17

Désolé de faire ça mais vouns ne me répondiez pas,
Bonjour,
je bloque sur une partie de l'énoncé qui suit mais je vous le donne enièrement pour vous aider, la partie sur laquelle je bloque est entre parenthèse []:

On appelle P la parabole d'équation y=x²-4x+5 dans un repère orthonormé(0;i;j)

Soit A le point de coordonées (1;3) et delta de m la droite passant par le point A et de coefficient directeur m. On note M1 et M2 les points d'intersection dem et de P.

1.a.Démontrer que les abscisses des points M1 et M2 sont le solutions de l'équation: x²-(4+m)x+m+2=0 (1).

1.b.Démontrer, sans résoudre l'équation (1), qu'elle admet deux solutions distinctes pour toute valeur de m.

2.On considère la droite Dp d'équation y=-2x+p, avec p$\in$$\R$

a.Justifier que les droites delta de-2 et Dp sont parallèles pour toute valeur de p.
b.Démontrer qu'il existe une valeur de p pour laquelle la droite Dp et la parabole P ont un unique poit commun B.
Calculer cette valeur de p et les coordonées du point B.
Que représente alors la droite Dp pour la parabole P?
c.Quelle remarque peut-on faire sur les abscisses des points A et B.

[1.a. Démontrer que les abscisses des points M3 et M4 sont les solutions de l'équation x²-(4+a)x+(5-b)=0.
b.Déterminer l'abscisse du milieu I de [M1M2] en fonction de a.
2.a.Déterminer en fonction de a, la valeur de b pour la quelle la droite D et la parabole P ont un unique point commun.
b.Exprimer l'abscisse de ce point commun T en fonction de a.
c.Que remarque-t-on sur les abscises des points I et T.]

Merci d'avance de votre compréhension.


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