Une assemblée de 30 personnes souhaite élire une délégation de quatre personnes pour les représenter à un congrès.
1) Combien de délégations peut-on ainsi désigner ?
2) Tom et Kenza ne se supportent pas et ne souhaitent pas faire partie de la délégation l'un avec l'autre. Combien de possibilités reste-t-il ?
3) Camille et Antoine ne feront partie de la délégation s'ils sont choisis tous les deux. Combien de délégations différentes peut-on former dans ces conditions ?

1) 4 personnes à choisir sur 30, c'est une combinaison C(30 4)
soit 30! / 4! x (30-4)! = 30 x 29 x 28 x 27 / 4x 3 x 2 x 1 = 27027

2) Si Tom et Kenza sont ensembles, il ne reste plus qu'à choisir 2 personnes sur 28 restantes. C'est donc la combinaison C(28 2)
soit 28! / 2! x (28-2)! = 28 x 27 / 2 x 1 = 378
Le nombre de combinaisons possibles (avec Tom et Kenza pas ensembles) est donc 27027 - 378 = 27027

3) Le nombre de combinaisons avec Camille et Antoine délégués ensembles est également C(28 2) = 378
Le nombre de combinaisons avec Camille et Antoine non délégués est C(28 4): on doit élire 4 délégués parmi les 28 restantes.
soit 28! / 4! x (28-4)! = 28 x 27 x 26 x 25 / 4 x 3 x 2 x 1 = 22113
Donc le nombre de combinaisons (pour que Camille et Antoine soient délégués ensembles où pas délégué tous les deux) est de
22113 + 378 = 22491

Dans la question: Combien de délégations différentes peut-on former dans ces conditions ?
Est-ce qu'il faut également tenir compte de la condition de la question 2) pour répondre à la question 3) ?
Si oui il faut encore exclure les combinaisons où Tom et Kenza sont ensembles:
Dans le cas où Camille et Antoine son délégués, il n'y a qu'une combinaison à exclure avec Tom et Kenza délégués ensembles (les délégués sont ces 4 personnes).
Dans le cas où Camille et Antoine ne sont pas délégués, on calcule les combinaisons où Tom et Kenza sont ensembles. On n'a plus que 2 délégués possibles dans le groupe réduit à 26 (Camille et Antoine sont exclus car par délégué et Tom et Kenza sont délégués):
C'est C(26 2) = 26 x 25 / 2 x 1 = 325
Donc le nombre de combinaisons en appliquant ensemble les règles des questions 2) et 3) est de:
22491 - 1 - 325 = 22165