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Combinatoire et Dénombrement - Boules
Bonjour à tous,
Je me permets de faire un post car je suis bloqué sur un exercice plutôt ouvert concernant la combinatoire / le dénombrement.
L'énoncé est le suivant :
"Un sac contient des boules rouges, noires et blanches. Lorsque l'on en pioche dix d'un coup, on sait qu'au moins deux boules sont rouges, au moins une boule est noire et au moins trois boules sont blanches.
Est-il possible de déduire de ces renseignements le nombre de boules rouges, ou noires ou blanches dans le sac ?"
Mes pistes de réflexion :
Je me suis concentré sur les boules rouges. Sur 10 boules piochées, on en a au moins 2 qui sont rouges, au moins 1 noire et au moins 3 blanches, donc il reste 10 - 3 - 2 - 1 = 4 emplacements. Sur ces 4 emplacements, on peut avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 boules rouges.
Je pense qu'il faut faire un lien avec les combinaisons (et peut-être la formule du nombre de parties d'un ensemble ?) mais je ne vois pas comment débuter (et faire le lien avec le sac, car là c'est un raisonnement sur 10 boules)
Merci par avance pour votre aide ! 
Bonjour,
Sur 10 boules tirées, on est certain d'avoir au moins 2 rouges. C'est donc qu'en tirant les 8 autres on a épuisé le stock (noires + blanches)...
Bonjour,
Une autre manière de le dire :
Si le sac contenait au moins 9 boules non rouges alors il serait possible de tirer une seule boule rouge.
Exercice intéressant
... et la piste que tu explores avec les combinaisons, les emplacements , etc, elle est très compliquée, et ne va mener nulle part.
Soit r le nombre de boules rouges, n le nombre de boules noires et b le nombre de boules blanches.
Maintenant que les 3 inconnues ont des noms, on a bien avancé (je ne blague pas)
On sait quoi ?
r+n+b >= 10 : on peut tirer 10 boules de notre sac.
r >=2 : Quand on tire 10 boules au hasard, on a toujours au moins 2 rouges
... et plein d'autres inégalités un peu moins simples.
Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses.
De ce que je comprends, avec les informations données, je peux faire un système d'inéquations pour obtenir le nombre de boules de chaque couleur.
Les équations :
Ce qui me permet d'en déduire :
Et en résolvant ce système on arrive au bout ?
Je suis étonné que ce soit la manière de résoudre un tel exercice, car c'est un exercice du chapitre "Combinaisons et Dénombrement" (pour cela que je pensais qu'il fallait utiliser ces notions)
Si je suis dans l'erreur, avez-vous d'autres indications ?
En vous remerciant.
Le système est bon ; mais attention, il n'est pas équivalent au 1er avec 7 inégalités.
Tu n'arriveras pas au bout, car il y a plusieurs solutions au 1er système.
Essaye d'en trouver deux ou trois.
Le 1er système permet de voir que r+n+b ne peut prendre que 3 valeurs possibles.
Ce qui n'empêche qu'il y a effectivement plusieurs solutions.
Bonsoir,
Merci pour vos retours.
Je ne vois pas comment continuer avec ces seuls éléments...
On peut trouver des solutions oui, mais je n'arrive pas à le faire de manière calculatoire.
Est-ce que vous auriez un début de piste pour la résolution ?
Merci à vous.
Je crois avoir compris pourquoi il n'y a que trois valeurs possibles pour la somme
On a :
Qu'on peut transformer en :
En additionnant des deux côtés, on se retrouve avec
On retranche , on divise par 2 et on a :
Donc la somme peut faire 10, 11 ou 12.
Il y a moyen d'arriver plus directement à ce résultat, mais c'est ça, oui.
Commence par regarder le cas n+b+r=12
n+b=12-r 
8...
l'inéquation ci-dessus va donner une valeur minimale pour r. De la même façon, on peut trouver les valeurs minimales de b et n.
Bonsoir,
Effectivement, dans le cas où la somme vaut 12, on doit avoir :
On voit ici qu'il n'y a qu'une seule solution : (seul triplet pour lequel la somme fait 12)
Pour la somme qui fait 11, j'imagine qu'on aura plusieurs solutions (6 ?) et pareil si la somme fait 10.
Je vais écrire tout cela, et je reviendrai exposer mes résultats.
Merci à vous !
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