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Comment construire un graphique sous forme récurrence ?

Posté par
ghirlandajo
16-01-13 à 21:07

Bonjour, bonsoir,
J'aimerais bien avoir des explications avec graphique s'il vous plait, j'aimerais savoir comme le titre l'indique comment on fait pour construire un graphique et surtout placer les suites. Je suis en train de réviser des exercices où ça devient plus des escaliers mais des escargots et je ne comprends pas pourquoi les traits deviennent comme ça etc (désolée pour mes explications un peu bizarre).
Donc je voudrais des explications pour les graphiques en escaliers ou en escargots... Sous forme récurrence en fait.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Comment construire un graphique sous forme récurrence ? 17-01-13 à 13:06

Bonjour, oui alors commencons par un exemple. Prenons par exemple la suite récurrente U_{n+1}=\sqrt{U_n+1} et U0=-1/2 par exemple.

Pour représenter cette suite récurrente, on trace la fonction y=f(x) Un+1=f(Un), donc dans notre exemple, f(x)=\sqrt{x+1} et puis la droite y=x.

La droite y=x sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x et permet donc de continuer la récurrence.
Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite. A chaque verticale bleue on a un terme de la suite. Dans le cas présent ça donne :
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?
Cela permet de conjoncturer graphiquement que la suite est croissante et convergente vers 1.62 (resterait à le démontrer évidemment).

Le cas que tu cites où cela donne des escargots arrive par exemple avec la suite suivante Un+1=1-Un² et U0=-1/2. Le graphique donne ça :
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?
Donc ici on voit que la suite alterne un coup à droite et un coup à gauche et qu'elle ne convergera pas car les termes se rapprocheront de 0 et 1 en alternance.
Ce qui donne l'idée par exemple d'étudier les suites U2n et U2n+1, de montrer que l'une est croissante et l'autre décroissante.

Les graphique servent à guider sur ce que l'on doit faire. Pour le premier exemple, comme on voit qu'elle est croissante, on se dit que l'on va faire Un+1-Un, étudier le signe et montrer qu'il est toujours positif par exemple.
Pour la seconde, on voit qu'elle est divergente.
Mais il peut y avoir des escargots convergeant bien sûr.

Presque la même suite Un+1=1-Un²/2 donnera ça par exemple :
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?

Posté par
ghirlandajo
re : Comment construire un graphique sous forme récurrence ? 17-01-13 à 18:47

Ah ! Merci d'avoir pris le temps de me répondre. ^^

Je remarque dans le graphique avec l'escalier, lim un = 1,62. C'est ça ? Un truc me perturbe, on lit en abscisse ou en ordonné ? Ou c'est exactement pareil ? C'est toujours l'intersection de la droite et de la courbe pour le cas du graphique en escalier et en escargot ? Sous forme récurrence, il n'existe que l'escargot et l'escalier ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Comment construire un graphique sous forme récurrence ? 17-01-13 à 19:09

C'est sur la droite y=x donc peut importe si on lit en abscisse ou en ordonnée.

Oui, s'il y a une limite, elle est toujours à l'intersection de la droite et de la courbe. Pourquoi ?

Parce que si Un tend vers L, alors Un+1 aussi et si on passe la relation de récurrence à la limite Un+1=f(Un) ça donne L=f(L) donc c'est bien l'intersection de la droite y=x avec la fonction y=f(x).

Donc un scénario classique d'étude c'est :
on montre que la suite est croissante,
On montre qu'elle est majorée,
On en déduit qu'elle converge vers une limite,
La limite ne peut être que la solution de f(L)=L et donc on peut la trouver en résolvant l'équation.

non il existe d'autre forme, par exemple la suite peut diverger :
exemple un+1=Un+1/Un et U0=1
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?

Et puis il peut y avoir des cas où c'est carrément chaotique ou encore une suite qui fait un cycle et revient sur les même valeurs (exemple un+1=1-1/Un et U0=1/2 est cyclique)
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?

Exemple de suite cahotique : Un+1=3.4Un(1-Un)
Comment construire un graphique sous forme récurrence ?



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