Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Fonctions polynômeTopics traitant de fonctions polynôme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation.

Posté par
matheux14 03-08-20 à 16:26

Bonjour,

J'ai beaucoup planté sur le calcul de f(x)-g(x) , vu que j'ai mis au moins une heure à arriver au bon résultat.

J'aimerais bien avoir quelques conseils pour aller le plus rapidement possible avec ce genre de calculs ..

Mais bien avant je vous expose ce que j'ai fait.

Merci d'avance.

Soient les fonctions f et g de \R vers \R et définies par : f(x)=\dfrac{x+2}{x-1} et g(x)=\dfrac{1}{2}x²-2.

(Cf) et (Cg) désignent les courbes représentatives de f et g dans le plan muni d'un repère (O,I,J).

1) Résoudre l'inéquation x\in \R , f(x)\leq g(x).

2) En déduire la position de (Cf) par rapport à (Cg).

Réponses

1) D_{f}=\R\{1} et D{g}=\R.

x\in \R\{1} ,f(x)\leq g(x) f(x)-g(x) \leq 0

*Étudions le signe de  f(x)-g(x).

x\in \R\{1} ,f(x)-g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}-(\dfrac{1}{2}x²-2)=\dfrac{x+2-\dfrac{1}{2}x³+2x+\dfrac{1}{2}x²-2}{x-1}=\dfrac{x[-\dfrac{1}{2}x²+\dfrac{1}{2}x+3]}{x-1}

Soit P(x)=-\dfrac{1}{2}x²+\dfrac{1}{2}x+3

\Delta=\dfrac{25}{4}

x_{1}=3 et x_{2}=-2

Donc P(x)=-\dfrac{1}{2}(x-3)(x+2)

Il vient f(x)-g(x)=\dfrac{x[-\dfrac{1}{2}(x-3)(x+2)]}{x-1}


Tableau de signe de f(x)-g(x).

Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation.

x\in ]-∞;-2] U [0;1[ U [3;+∞[ , f(x)-g(x) \leq0<==> f(x)\leq g(x).

Donc ]-∞;-2] U [0;1[ U [3;+∞[ est solution de l'inéquation f(x) \leq g(x).

2) x\in ]-∞;-2] U [0;1[ U [3;+∞[ , f(x)\leq g(x).

Donc (Cf) est au-dessous de (Cg) sur ]-∞;-2] U [0;1[ U [3;+∞[.

f(x)-g(x) s'annule en -2 , 0 et 3.

D'après le tableau de signe de f(x)-g(x) , f(x)-g(x) ne change pas de signe à gauche et à droite de -2 , 0 et 3.

Du coup les points d'abscisse x=-2 , x=0 et x=3 sont les points d'intersection de (Cf) et (Cg).

Courbes des deux fonctions avec GeoGebra:

Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation.

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 16:33

salut

que c'est inutilement compliqué avec ce coefficient 1/2 ...

pour tout x <> 1 :  f(x) \le g(x) \iff g(x) - f(x) \ge 0

or g(x) - f(x) = \dfrac 1 2 (x^2 - 4) - \dfrac {x + 2} {x - 1} = \dfrac ? {1(x - 1)} = ...

d'autre part si tu te prives de 1 alors il faut mettre une double barre sur toute la barre ...

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 16:34

carpediem @ 03-08-2020 à 16:33

salut

que c'est inutilement compliqué avec ce coefficient 1/2 ...

pour tout x <> 1 :  f(x) \le g(x) \iff g(x) - f(x) \ge 0

or g(x) - f(x) = \dfrac 1 2 (x^2 - 4) - \dfrac {x + 2} {x - 1} = \dfrac ? {{\red 2}(x - 1)} = ...

d'autre part si tu te prives de 1 alors il faut mettre une double barre sur toute la barre ...

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 17:20

Oui ,

g(x) - f(x) = \dfrac 1 2 (x^2 - 4) - \dfrac {x + 2} {x - 1} = \dfrac {(x-1)(x²-4)-2(x+2)} {2(x - 1)}=\dfrac {(x+2)[(x-1)(x-2)-2]} {2(x-1)} =\dfrac{(x+2)(x²-3x)}{2(x-1)}=\dfrac{x(x+2)(x-3)}{2(x-1)}

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 17:23



autrement plus simple et limpide, non ?

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 17:32

Vous n'auriez pas une autre encore simple

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 17:55

bof ... c'est toujours la même chose ...

maintenant je pense que tu maîtrises les études et tableaux de signes ...

le pb c'est la partie calculatoire : tu sais ce qu'il faut faire (tout mettre dans un membre et factoriser) mais c'est comment le faire le plus simplement possible pour ne pas se fatiguer et perdre son temps avec par exemple un discriminant superfétatoire en l'occurrence ...

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 17:59

Merci

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions en résolvant une inéquation. 03-08-20 à 18:24

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !