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Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphique.

Posté par
matheux14 02-08-20 à 18:10

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soient les fonctions f et g définies sur \R par : f(x)=x² et g(x)=x³.

(Cf) et (Cg) désignent les courbes représentatives de f et g dans le plan muni d'un repère (O,I,J).

Comparer f et g puis interpréter graphiquement les résultats obtenues.

Réponses

x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x²)

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) dépend de celui de 1-x²

Donc f(x)-g(x)\geq0



x \in ]-∞;0] U [0 ;1].

Et f(x)-g(x)\leq0



x \in [1;+∞[

Du coup x \in  ]-∞;0] U [0 ;1] ,

f(x)-g(x)\geq0



f(x)\geq g(x)

Et x \in [1;+∞[ ,

f(x)-g(x)\leq 0



f(x)\leq g(x)

Et par suite

(Cf) est  au-dessous de (Cg) sur [1;+∞[


(Cf) est au-dessus de (Cg) sur ]-∞;0] U [0 ;1].

Et les points d'intersection des deux courbes sont : 0 et 1 .

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:13

Citation :
Et les points d'intersection des deux courbes sont : les points d'abscisse 0 et 1 .

Posté par
Samscore : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:14

Bonjour

Petite faute au niveau de la factorisation x²-x³=x²(1-x)

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:16

Oui

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:20

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) dépend de celui de 1-x

Donc f(x)-g(x)\geq0



x \in ]-∞;0] U [0 ;1].

Et f(x)-g(x)\leq0



x \in [1;+∞[

Du coup x \in  ]-∞;0] U [0 ;1] ,

f(x)-g(x)\geq0



f(x)\geq g(x)

Et x \in [1;+∞[ ,

f(x)-g(x)\leq 0



f(x)\leq g(x)

Et par suite

(Cf) est  au-dessous de (Cg) sur [1;+∞[


(Cf) est au-dessus de (Cg) sur ]-∞;0] U [0 ;1].

Et les points d'intersection des deux courbes sont : 0 et 1 .

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:26

bonjour
plusieurs remarques
je n'aime pas " le signe dépend de "
le signe est celui de , ou le signe contraire à, mais dépend de, cela ne donne rien

relis tes intervalles, pourquoi s'arrêter à 0 , repartir à 0, si tu fermes les bornes ?
ne passe pas à la ligne lorsque tu écris une équivalence : une équivalence, il y a quelque chose à sa gauche et quelque chose à sa droite

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 18:39

Ok , je comprends ...

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) est celui de 1-x

Donc f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;0[ U ]0 ;1].

Et f(x)-g(x)\leq0x \in [1;+∞[

Du coup x \in  ]-∞;0[ U ]0 ;1] ,

f(x)-g(x)\geq0f(x)\geq g(x)

Et x \in [1;+∞[ ,

f(x)-g(x)\leq 0f(x)\leq g(x)

Et par suite

(Cf) est  au-dessous de (Cg) sur ]1;+∞[


(Cf) est au-dessus de (Cg) sur ]-∞;0[U ]0 ;1[. J'ai ouvert en 1 car le point d'abscisse 1 est un des points d'intersection des deux courbes des fonctions f et g..

Et les points d'intersection des deux courbes sont : 0 et 1 .

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:02

matheux14 @ 02-08-2020 à 18:39

Ok , je comprends ...

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) est celui de 1-x

Donc f(x)-g(x)\geq0x \in ]-?;0[ U ]0 ;1]. ici puisque tu mets \geq0 il n'y a pas lieu de s'arrêter à 0

Et f(x)-g(x)\leq0x \in [1;+?[

Du coup x \in ]-?;0[ U ]0 ;1] , continue sur la même ligne f(x)-g(x)\geq0f(x)\geq g(x) soit Cf au dessus de Cg

Et x \in [1;+?[ , continue sur la même ligne f(x)-g(x)\leq 0f(x)\leq g(x) soit Cf en dessous de Cg
et du coup la suite serait inutile

Et par suite

(Cf) est au-dessous de (Cg) sur ]1;+?[


(Cf) est au-dessus de (Cg) sur ]-?;0[U ]0 ;1[. J'ai ouvert en 1 car le point d'abscisse 1 est un des points d'intersection des deux courbes des fonctions f et g..

Et les points d'intersection des deux courbes sont : 0 et 1 .


en réalité, en 0, ce n'est qu'un point de contact, et en x=1 tu as un point d'intersection
ou alors tu rédiges tout avec des inégalités strictes

Posté par
Samscore : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:03

Je penses que lorsque tu ne ferme pas les intervalles en 0 et en 1 , tu dois donner le signe de f(x)-g(x) avec des inégalités strictes ( f(x)-g(x) >0 ou f(x)-g(x) <0 )

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:11

Cette fois tu ferais mieux de bien revoir ce que j'ai fait ..

Je n'ai pas fermé l'intervalle en 1...

Et comme l'a dit malou , ouvrir en 0 et réouvrir en 0 serait inutile ..

Vois tu ?

PS: Samsco Tu pourrais suivre tes propres topics stp ?   

Allez merci et bonne soirée

Posté par
Samscore : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:14

matheux14

D'accord , c'est comme tu veux !

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:19

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 19:53

matheux14
une fois la factorisation faite, moi je verrais bien :
pour x=0 f(x)-g(x) s'annule sans changer de signe, x=0 est l'abscisse d'un point de contact entre Cf et Cg
puis tu passes à
f(x)-g(x) > 0 etc...

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 20:31

Ah malou je n'avais pas vu ton message ..

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

Si x=0 alors f(x)-g(x)=0 sans changer de signe car 0 est à la fois positif et négatif.

D'où x=0 est l'abscisse d'un point de contact entre Cf et Cg.

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) est celui de 1-x

Si x=1 alors f(x)-g(x)=0 sans changer de signe

Le point d'abscisse x=1 est l'un des points de contact de (Cf) et (Cg).

Donc f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;1].

Et f(x)-g(x)\leq0x \in [1;+∞[

Du coup x \in ]-∞;0[ U ]0 ;1],f(x)-g(x)\geq0f(x)\geq g(x) soit Cg au dessus de Cg

Et x \in [1;+∞[,f(x)-g(x)\leq 0f(x)\leq g(x) soit Cf en dessous de Cg

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 20:55

car 0 est à la fois positif et négatif.
...
Si x=1 alors f(x)-g(x)=0 sans changer de signe faux
Le point d'abscisse x=1 est l'un des points de contact de (Cf) et (Cg). inutile, tu n'en sais pas assez à ce stade

donc f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;1].

Du coup (bof) si tu ouvres tes intervalles en 0, mets une inégalité stricte derrière

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:07

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) est celui de 1-x.

f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;1].

Et f(x)-g(x)\leq0x \in [1;+∞[

Du coup x \in ]-∞;1],f(x)-g(x)\geq0f(x)\geq g(x) soit Cg au dessus de Cg

Et x \in [1;+∞[,f(x)-g(x)\leq 0f(x)\leq g(x) soit Cf en dessous de Cg


Merci

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:10

on y est à peu près
à condition de remettre juste après la factorisation une ligne intermédiaire avec
> pour x=0 f(x)-g(x) s'annule sans changer de signe, x=0 est l'abscisse d'un point de contact entre Cf et Cg

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:23

Citation :
x \in \R ,

f(x)-g(x)=x²-x³=x²(1-x)

pour x=0 f(x)-g(x) s'annule sans changer de signe, x=0 est l'abscisse d'un point de contact entre Cf et Cg.


x \in \R , x²\geq0 donc le signe de f(x)-g(x) est celui de 1-x.

f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;1].

Et f(x)-g(x)\leq0x \in [1;+∞[

Du coup x \in ]-∞;1],f(x)-g(x)\geq0f(x)\geq g(x) soit Cg au dessus de Cg

Et x \in [1;+∞[,f(x)-g(x)\leq 0f(x)\leq g(x) soit Cf en dessous de Cg


Et pour l'autre point de contact ? Je le gère comment ?

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:30

l'autre n'est pas un point de contact
mais un point d'intersection, car Cf est au dessus de Cg, puis Cf en dessous, donc Cf et Cg se coupent en x=1

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:38

Ha c'est bien clair maintenant ..

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:44

Je t'en prie, bonsoir

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 02-08-20 à 21:51

Mais je ne comprends pas très bien pourquoi '' sans changer de signe '' quand bien même on sait que f(x)-g(x)=0 .. .

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 08:04

un carré est toujours positif
x² s'annule pour x=0 mais ne change pas de signe
oui ?

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 10:41

Oui

Merci et bonne journée

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 13:03

Deux petites questions ..

Pourquoi le point d'abscisse x=0 est un point de contact entre (Cf) et (Cg) ?

Et pourquoi le point d'abscisse x=1 est un point d'intersection de (Cf) et (Cg) ?

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 13:15

f(x)-g(x)=0 s'annule pour x=0 et x=1
donc pour ces 2 valeurs, Cf et Cg ont un point commun donc se "touchent"
mais je ne sais pas si elles se touchent ou si elles se coupent
> si f(x)-g(x) change de signe de part et d'autre de la valeur, les courbes se coupent
> sinon, elles se "touchent" seulement

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 13:21

OK

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 14:24

tu devrais faire tracer les deux courbes à geogebra, et tu les mets de deux couleurs différentes, entre -5 et 5 cela nous suffit amplement puisque que ce qui t'intéresse, c'est réellement voir ce qui se passe en 0 et en 1

Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 14:54

Oui , c'est ce que j'avais fait auparavant ...

Posté par
malou Webmasterre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 14:55

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 17:50

salut

allez je mets mon grain de sel ... pour "affiner et parfaire encore" la rédaction (selon mon point de vue)

avec une petite remarque préliminaire :

1/ préférer toujours le français à une symbolique parfois mal maîtrisée et parce qu'il est important de savoir dire proprement les choses en français

2/ se rappeler que 2 est plus grand que 2 puisque 2 \ge 2 (tout comme 2 est plus petit que 2 puisque 2 \le 2 ... et c'est pourquoi 2 est égal à 2)

matheux14 @ 02-08-2020 à 21:23

pour tout réel x f(x) - g(x) = x^2 - x^3 = x^2(1 - x)

or x^2 est positif sur R donc le signe de f(x) - g(x) est celui de 1 - x.

f(x)-g(x)\geq0x \in ]-∞;1].

Et \cancel{ f(x) - g(x)\leq0 \iff x \in [1, +\infty[} pour un nombre (non nul) il n'y a que deux issues exclusives l'une de l'autre : il est positif ou il est négatif donc si j'ai trouvé (l'ensemble des) x tels que c'est positif alors je connais (l'ensemble des) x tels que c'est négatif

donc f(x) <= g(x) sur l'intervalle [1,+oo[ et C_f est en dessous de C_g sur l'intervalle [1, +oo[
et f(x) >= g(x) sur l'intervalle ]-oo, 1] et C_f est au dessus de C_g sur ce même intervalle avec contact en 0 car f(0) = g(0)


Posté par
matheux14re : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 18:11

Encore merci

Posté par
carpediemre : Comparaison de deux fonctions et leur interprétation graphi 03-08-20 à 18:35

encore de rien


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