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Complexes
Bonjour a tous !
J'ai un petit soucis avec un exo ...
énoncé :
On définit l'application f de 
-{1} dans par f(z) = (z+1)/(z(barre)-1)
déterminer l'ensemble des complexes z tels que f(z):
- soit réel
- soit imaginaire pur
- a pour module 1 .
J'ai peu etre quelque chose pour le premier mais je n'en suis pas sur du tout ...
j'ai écrit sous forme algébrique f(z) et j'ai multiplier cette fraction par le conjugué du dénominateur pour enlevé la forme complexe présente justement au dénominateur ..
j'obtiens: f(z) = [(x+iy)²-1] / [x²+y²-2x+1]
si f(z) réel: [x²+y²-2x+1] étant réel il faut que [(x+iy)²-1] le soit aussi
et -1 étant réel il faut que (x+iy)² le soit aussi
j'en est conclue que la seul solution possible est tel que y=0
??
est-ce correct ?
et pouvez vous m'aider pour les 2 autres démo ?
merci
bonjour
Z réel => Z = Z*
(z+1)/(z*-1) = (z*+1)/(z-1)
z²-1 = z*²-1
z² -z*² = 0
(z+z*)(z-z*) = 0
z = z* ou z = -z*
z réel ou z imaginaire pur
A toi
Bonsoir.
Sauf étourderie, cela donne :
Cette forme t'aidera à répondre aux deux premières questions.
Pour la troisième question je pense que le mieux est de prendre :
A plus RR.
si z=z* alors Z imaginaire pur
si z=-z* alors Z réel
merci
pour le 3eme puis-je avoir juste une petite piste ?
toujours pour varier les méthodes (salut RR)
Z imaginaire pur => Z = -Z*
(z+1)/(z*-1) = -(z*+1)/(z-1)
z²-1 = -z*²+1
z² + z*² = 2
tu remplaces z = x + iy
x²-y²+2ixy+x²+y²-2ixy = 2
x² - y² = 1
hyperbole équilatère d'axes y = x et y = -x en ôtant z=x=1
A vérifier
quand tu remplace par z = x + iy
les y² s'éliminent ...
il reste donc l'équation : 2x² = 2
x² = 1
dc x = 1 ou -1
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