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Cône circonscrit à une sphère

Posté par
lacool721 01-03-08 à 16:34

bonjour je sui en 1S et j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre. j'ai vu que ce sujet à déjà été posé mais je ne comprends toujours pas comment faire. merci d'avance.

Cône circonscrit à une sphère

S est une sphère de centre O de rayon r. On souhaite inscrire cette sphère dans un cone de révolution dont le volume v est le plus petit possible.
Quelles doivent etre les dimensions de ce cone ?

1. Pour répondre, on pose AO=x. Vérifier que v=1/3 πr² [(x+r)²/x-r].
J'ai une aide v= 1/3πR²h, R rayon de la base du cone et h sa hauteur.

2.Démonter que le cone de volume minimal est obtenu losque x=3r.
Quel est alors la hauteur de ce cone? le rayon de sa base?

Posté par
padawanre : Cône circonscrit à une sphère 01-03-08 à 17:08

Bonjour,
si tu nous envoyais une figure afin de préciser toutes les notations, cela nous arrangerait...

Posté par
lacool721re 01-03-08 à 17:42

BC diametre du cercle de la base du cone
AD hauteur du cone
OH rayon de la sphere

re

Posté par
lacool721Cône circonscrit à une sphère 02-03-08 à 13:29

bjr est-ce que quelqu'un pourrait m'aidez svp je ne sais pas si c'est thalès ou pythagore qu'il faut utiliser.

Posté par
rob1re : Cône circonscrit à une sphère 29-09-20 à 21:30

Bonsoir, j'arrive par hasard 12ans après...

J'ai trouvé l'expression du rayon R du cercle le plus grand possible inscrit dans un triangle,
(triangle dont les cotés sont donc des tangentes au cercle) voyez le schéma pour visualiser.

Le lien est vite fait avec la demande originelle,
à une révolution près on obtient le volume maximal d'une sphère inscrite dans un cône en fonction de la hauteur h et du rayon r de la base du cône.
voici donc la formule pour avoir le rayon du cercle :

R=\sqrt{r^{2}\frac{1 - \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}})) }{1 + \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}))}}

voici alors le volume max de la sphère en fonction des paramètres du cône :

V_{S}=\frac{3}{4}\pi \sqrt{r^{2}\frac{1 - \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}})) }{1 + \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}))}}^{3}

dans un cône de volume on le rappel :

V_{C}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h


C'est une formule que j'ai trouvé de moi même en appliquant deux fois le théorème d'Al-Kachi pour trouver la longueur s sur la photo ci-dessous :
une fois avec  ( j,k ) = (r,r)  comme données de base et l'angle  \zeta=\frac{\pi}{2}-\alpha  entre j et k avec

\alpha =\arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}})

s=\sqrt{j^{2}+k^{2}-{2jk\times \sin(\alpha)}}

puis comme données ( n , l) = (R,R) et   \eta=\frac{\pi}{2}+\alpha

s=\sqrt{n^{2}+l^{2}+{2nl\times \sin(\alpha)}}
Voilà, en égalisant les deux expressions en isolant R on obtient la première formule.


j'espère que l'ancienneté de ce sujet n'empêchera pas ma visibilité...

Cône circonscrit à une sphère

Posté par
Glapion Moderateurre : Cône circonscrit à une sphère 30-09-20 à 11:01

Bonjour, ça parait bien compliqué ce que tu écris rob1, pourquoi ne pas suivre l'énoncé et montrer que v=1/3 πr² [(x+r)²/(x-r)] puis dériver la fonction pour trouver son minimum ?

Posté par
rob1re : Cône circonscrit à une sphère 30-09-20 à 12:32

Cela me parait bien plus long pour exprimer le rayon de la sphère en fonction des paramètres du cône.

Si tu veux le faire pour nous le montrer ça serait avec plaisir, ça fait 12 ans qu'on attend ça...
  

Posté par
rob1re : Cône circonscrit à une sphère 30-09-20 à 15:38

rob1 @ 29-09-2020 à 21:30

Bonsoir, j'arrive par hasard 12ans après...

J'ai trouvé l'expression du rayon R du cercle le plus grand possible inscrit dans un triangle,
(triangle dont les cotés sont donc des tangentes au cercle) voyez le schéma pour visualiser.

Le lien est vite fait avec la demande originelle,
à une révolution près on obtient le volume maximal d'une sphère inscrite dans un cône en fonction de la hauteur h et du rayon r de la base du cône.
voici donc la formule pour avoir le rayon du cercle :

R=\sqrt{r^{2}\frac{1 - \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}})) }{1 + \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}))}}

voici alors le volume max de la sphère en fonction des paramètres du cône :

V_{S}=\frac{4}{3}\pi \sqrt{r^{2}\frac{1 - \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}})) }{1 + \sin( \arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2} + r^{2}}}))}}^{3}

dans un cône de volume on le rappel :

V_{C}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h


C'est une formule que j'ai trouvé de moi même en appliquant deux fois le théorème d'Al-Kachi pour trouver la longueur s sur la photo ci-dessous :
une fois avec  ( j,k ) = (r,r)  comme données de base et l'angle  \zeta=\frac{\pi}{2}-\alpha  entre j et k avec

\alpha =\arccos(\frac{h}{\sqrt{h^{2}+r^{2}}})

s=\sqrt{j^{2}+k^{2}-{2jk\times \sin(\alpha)}}

puis comme données ( n , l) = (R,R) et   \eta=\frac{\pi}{2}+\alpha

s=\sqrt{n^{2}+l^{2}+{2nl\times \sin(\alpha)}}
Voilà, en égalisant les deux expressions en isolant R on obtient la première formule.


j'espère que l'ancienneté de ce sujet n'empêchera pas ma visibilité...

Cône circonscrit à une sphère

Posté par
fm_31re : Cône circonscrit à une sphère 30-09-20 à 16:19

Bonjour ,
Comme déjà dit par Glapion que je salue , c'est bien compliqué et ça ne suit pas l'énoncé .
Voir aussi  https://www.geogebra.org/m/MXyBPPZu  (déjà donné) .
Cordialement


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