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Cône inscrit dans une sphère

Posté par
Nanika333
30-04-19 à 12:39

Bonjour,
J'ai un dm d'optimisation d'espace à rendre pour lundi. J'ai déjà réussi les 4 premiers exercices, mais je bloque sur le dernier.

L'énoncé est : Déterminer le volume maximal et les dimensions d'une boîte conique inscrite dans une sphère de rayon 50cm. Je dispose aussi d'un schéma où est indiquer que r est le rayon de la base circulaire du cône, et h la hauteur du cône.
Il m'est proposé de montrer que r²=100h-h²


Sur le modèle de mes exercices précédent, je pense qu'il faut que j'exprime le volume du cône, pour ensuite étudier les variations de la fonction grâce à la dérivé, et trouver un maximum.

Cependant je n'arrive pas à savoir comment utiliser les données, et à démontrer l'équation.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci

Posté par
Nanika333
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 12:47

Voilà le schéma

Cône inscrit dans une sphère

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 13:25

Bonour,

démontrer r²=100h-h² est le résultat de l'application de Pythagore et simplification
bien entendu il est nécessaire de commencer par nommer un certain nombre de points de la figure, y compris le centre de la sphère !!!
sinon on ne peut même pas discuter de quel triangle on parle !

pour la suite c'est remplacer r par la formule précédente dans celle bien connue du volume d'un cone pour obtenir le volume en fonction de h seulement
puis étude de cette fonction.

Posté par
Nanika333
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 16:02

Merci de votre réponse mathafou

Je pense que j'ai compris. Si on nomme O le centre de la sphère, B le point de contact entre la base du cône et la sphère, et A le centre du disque, on peut alors travailler avec le triangle OAB. Du coup OB=50 puisque c'est un rayon de la sphère, AB= r, et on peut alors appliquer le théorème de Pythagore.
Cependant, il manque OA... une amie m'a proposé OA=50-h mais je ne comprends pas pourquoi ?

Cône inscrit dans une sphère

Posté par
Nanika333
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 16:04

J'ai enfin réussi a vous identifier mathafou
Merci de votre aide
Pourriez vous lire mon dernier message s'il vous plait, il vous est adressé

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 16:14

en appelant N le sommet du cône
OA = NA - NO = h - 50 et pas 50 - h

bon comme on l'élève au carré pour Pythagore, cela fera pareil, mais tant qu'à faire ...

Posté par
Nanika333
re : Cône inscrit dans une sphère 30-04-19 à 16:17

Merci beaucoup pour votre aide mathafou !! J'ai tout compris !!
Bonne continuation à vous



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