Ton théorème est juste.
Mais il marche dans les deux sens.

Si Barycentre (A, alpha), (B, beta), (C, gamma) = Barycentre (H, alpha+beta), (C, gamma)
alors, comme le signe "égal" se lit évidemment dans les deux sens :
Barycentre (H, alpha+beta), (C, gamma) = Barycentre (A, alpha), (B, beta), (C, gamma)

Vous n'avez apparemment l'habitude de n'utiliser le théorème d'associativité que dans un sens.
D'où l'introduction de H'.
Pas de souci.
Si ton professeur préfère cette méthode, utilise-la, bien sûr.

Merci de ce complément.
A bientôt.

Nicolas

Bonjour. Je suis entrain de travailler sur cet exercice, sur la question de prouver que P barycentre (A,-2k),(B,1). Je ne vois pas quel est le théorème qui permet à Nicolas (réponse de 17h18) de déduire que le coefficient de C doit être nul.

Pour ma part je propose une solution qui n'utilise pas la même méthode.
Comme H est le barycentre de (A,-2k),(B,1),(C,1), on a :
(en vecteurs )-2kPA + PB + PC = (-2k+2)PH
(en vecteurs) -2kPA + PB = (-2k+2)PH - PC

comme A,B et P sont alignés, il existe un réel x tel que (en vecteurs) PB = xPA
comme C,H,et P sont alignés, il existe un réel y tel que (en vecteurs) PC = yPH

en remplaçant, cela donne, en vecteurs :
(-2k+x)PA = (-2k+2-y)PH

Comme A,H et P ne sont pas alignés, les coefficients de l'égalité précédente sont nécessairement égaux à zéro.
D'où x=2k, PB = 2kPA et y=-2k+2, PC =(-2k+2)PH.

D'où, -2kPA + PB = 0, P barycentre de (A,-2k),(B,1)
et (2k-2)PH + PC = 0, P barycentre de (H,2k-2),(C,1)

En espérant être utile aux lecteurs,
Cdt.