Bonjour

a congru b mod n
a^q congru b^q mod n

par multiplication, (a)(a^q) congru (b)(b^q) mod n

Tu peux démontrer que mod est compatible avec la multiplication si tu souhaites être le plus précis possible !

Salut, tu cherches bien compliqué.

Hérédité : Supposons que pour un certain rang k0 on ait

or

Par produit

donc

ba^(q+1)-ab^(q+1)=knab
Tu t'en sors pas mal du tout avec cette égalité ! T'y es presque
Je te conseille de diviser par b et de déterminé ce que vaut a/b grâce à ton hypothèse de départ.

Merci à Zormuche et à StormTK9, mais je ne savais pas qu'on pouvait multiplier ainsi
a^k par a et b^k par b. Je vais essayer de le montrer.
Merci, Taly. Il suffisait de remplacer le facteur de b^q par k'n+b dans l'égalité a^(q+1)-ab^(q)=kn.
On a alors a^(q+1)-(k'n+b)b^(q)=kn
Soit a^(q+1)-b^(q+1)=n*(k+k'b^(q))
Donc a^(q+1) est bien congru à b^(q+1) (mod n).

C'est bon, je l'ai démontré :
Supposons que a est congru à b mod n.
On a alors kn=a-b avec k un entier naturel
Si on multiplie les deux membres de l'égalité par la forme conjuguées de a-b, on a :
(a+b)kn=(a-b)(a+b)
Soit n*k'=a²-b²
Donc a² est bien congru à b² mod n.

Salut
j'ai peur que ça ne marche que pour les puissances paires, ce que tu as fait
ce n'est pas une démonstration par récurrence

Ce n'est pas parce que cela fonctionne pour a² que cela va fonctionner pour a³.. Tu ne démontres rien ici.

Ah, mais je démontrais autre chose. Je voulais montrer que si a est congru à b mod n, alors a*a est congru à b*b mod n (vu que je ne comprenais pas pourquoi on pouvait multiplier a^k par a et b^k par b dans "a^k*a est congru à b^k*b mod n").

La fin de la démonstration qui me bloquait est là :

Prince0 @ 05-03-2017 à 18:20

Il suffisait de remplacer le facteur de b^q par k'n+b dans l'égalité a^(q+1)-ab^(q)=kn.
On a alors a^(q+1)-(k'n+b)b^(q)=kn
Soit a^(q+1)-b^(q+1)=n*(k+k'b^(q))
Donc a^(q+1) est bien congru à b^(q+1) (mod n).