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Contrôler les approximations
Contrôler les approximations
Soit f une fonction, dérivable sur un intervalle f , et dont la dérivée
vérifie, pour tout x de f , m ≤f' (x) ≤M (c'est-à-dire
que la dérivée de f est bornée).
1) On considère la fonction g définie, sur l'intervalle E , par
g(x) = f{x) - mx .
a) Montrer que la fonction g est croissante sur E .
b) En déduire que, si a et b sont deux éléments de E vérifiant a < b
, alors :
m{b-a) ≤ f{b}-f{a) .
2) On considère la fonction h définie sur l'intervalle E par h{x}
=f{x) - Mx .
a) Montrer que la fonction h est décroissante sur E .
b) En déduire que, si a et b sont deux éléments de E vérifiant a < b
, alors :
f(b) - f(a) ≤ M{b-a) .
3) Déduire des questions 1) et 2) un encadrement de l'accroissement
de la fonction f entre a et b .
4) Soit f , la fonction racine carrée, définie sur L'intervalle
[1 ; 4] , noté E .
a) Prouver que, pour tout x de E , la dérivée de f
vérifie :
1/4 ≤f'(x) ≤1/2
b) En déduire des encadrements de racine de b avec b élément de E .
c) En déduire un encadrement des nombres :
√1,1 ; √1,01 ; 1.5/(√2)
1)
a)
on dérvive
g'(x)=f'(x)-m
or sur E f'>=m donc g'>=0 donc g croit sur E
b)
g croit donc si a < b
g(a)<=g(b)
f(a)-ma<=f(b)-mb
mb-ma<=f(b)-f(a)
m(b-a)<=f(b)-f(a)
2)
a)
on dérvive
h'(x)=f'(x)-M
or sur E f'<=M donc h'<=0 donc h decroit sur E
b)
h croit donc si a < b
h(a)>=h(b)
f(a)-Ma>=f(b)-Mb
Mb-Ma>=f(b)-f(a)
M(b-a)>=f(b)-f(a)
f(b)-f(a)<=M(b-a)
3)en rersume m(b-a)<=f(b)-f(a)<=M(b-a)
comme a-b non nul
m<=(f(b)-f(a))/(b-a))<=M c'est l'acroissement.
4)
tu derive et tu trouve 1/4<=f'<=1/2
tu as alors
m<=(f(b)-f(a))/(b-a))<=M avec m=1/4 et M=1/2
1/4<=rac(b)-rac(a)/(b-a)<=1/2
on prend b quelconque et a=1
1/4<=rac(b)-rac(1)/(b-1)<=1/2
1/4<=rac(b)-1/(b-1)<=1/2
(b-1)/4<=rac(b)-1<=(b-1)/2
(b-1)/4+1<=rac(b)<=(b-1)/2+1
b/4+3/4 <= rac(b) <= b/2 +1/2
c)
avec b=1.1
4.1/4 <= rac(1,1) <=2.1/2
1.025 <= rac(1,1) <= 1.05
avec b=1.01
4.01/4 <= rac(1,01) <=2.01/2
1.0025 <= rac(1,01) <= 1.005
1.5/rac(2)=1.5*rac(2)/2=3*rac(2)/4=rac(9*2/16)=rac(18/16)=rac(9/8)
donc avec b=9/8
9/32+3/4 <= rac(9/8) <= 9/16 +1/2
33/32<=rac(9/8) <= 17/16
33/32 <= 1.5/rac(2) <= 17/16
voila
A+
guillaume
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