Niveau première

Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS]

Posté par Jlo (invité) 06-05-05 à 19:24

Salut, j'ai un petit problème en mathématiques pour résoudre cet exercice :

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; ; ).
a) Déterminer l'ensemble ( E ) des points M(x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient : x² + y² -x + 2y - 15/4 = 0.
b) A et B sont deux points données. On appelle I le milieu de [AB].

o P étant un point quelconque du plan, exprimer PA² + PB² à l'aide de PI² et AB².
o On fixe les coordonnées : A (1.5 ; 1) et B (-0.5 ; -3). Déterminer l'ensemble ( F ) des points P du plan tels que : PA² + PB² = 20.
o Qu'observe-t-on ?

J'ai fais une petite figure si ça peut aider.

Merci d'avance pour votre aide.

Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS]

Posté par re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 06-05-05 à 19:44

bonsoir Jlo,

ne reconnais tu pas le début d'un carré dans $3$\rm x^2-x$
et le début d'un autre carré dans $3$\rm y^2+2y$

L'équation $3$\rm (x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ te dit-elle quelque chose ?

Pour la seconde intercaler I dans les carrées et penser que $3$\rm PA^2=\vec{PA}.\vec{PA}$ ...développer le produit scalaire et ne pas oublier que $3$\rm \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$

Salut

Posté par Jlo (invité)re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 06-05-05 à 20:27

Merci dad97 d'avoir répondu mais je ne vois pas trop comment faire car le prof a fait cet exo alors qu'on a rien étudié précédemment concernant cette partie du cours, c'est la raison pour laquelle je solicite votre aide. Merci

Posté par re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 06-05-05 à 20:32

Re,

$3$\rm%20(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ est l'équation du cercle de cenre de coordonnées (a,b) et de rayon R.

As-tu essayé de réécrire ton expression comme la somme de deux carrés dont les début sont x²-x et y²+2y.
exemple : si on a x²-8x on reconnais le début du carré de (x-4)²=x²-8x+16 et de là on en déduit que x²-8x=(x-4)²-16 même technique pour ton cas...

Salut

Posté par Jlo (invité)re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 06-05-05 à 23:26

Ah oui, c'est pas si facile que ça en fait

Posté par re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 06-05-05 à 23:51

Re,

$3$\rm x^2 + y^2 -x + 2y - \frac{15}{4} = 0$

$3$\rm \Longleftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+(y+1)^2-1-\frac{15}{4}=0$

$3$\rm \Longleftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=5$

cercle de centre de coordonnées $3$\rm (\frac{1}{2};-1)$ et de rayon $3$\sqrt{5}$

$3$\rm PA^2+PB^2=(\vec{PI}+\vec{IA})^2+(\vec{PI}+\vec{IB})^2$

$3$\rm =PI^2+IA^2+2\vec{PI}.\vec{IA}+PI^2+IB^2+2\vec{PI}.\vec{IB}$

$3$\rm =2PI^2+2\times (\frac{1}{2}AB)^2+2\vec{PI}.(\vec{IA}+\vec{IB})$

$3$\rm =2IP^2+\frac{AB^2}{2}$

$3$\rm A (1.5 ; 1)$ et $3$\rm B (-0.5 ; -3)$

donc $3$\rm AB^2=(-0,5-1,5)^2+(-3-1)^2=4+16=20$

donc $3$\rm PA^2+PB^2=2IP^2+10$

donc $3$\rm PA^2+PB^2=20 \Longleftrightarrow IP^2=5$

cercle de centre I et de rayon $3$\rm \sqrt{5}$

oh le même cercle que la première question

Salut

Posté par Jlo (invité)re : Coordonnées, ensembles dans un repère orthonormal [1èreS] 07-05-05 à 12:27

Merci beaucoup dad97 pour ton aide, pour la dernière question la réponse est bien : "on observe le même cercle que à la première question" ? Merci

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