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Correction exercice sur les limites de fonctions

Posté par
infophile
06-06-05 à 20:29

Bonjour

Je voudrais si possible une petite vérification de cet exercice tiré des fiches de l' .

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\rm Enonce : Calculs de limites en utilisant des fonctions de references \\ 1.) f : x \to x^2 - 3x + 3 \\ a) Montrer que pour x\ge 3 , f(x)\ge x \\ En deduire la limite de f(x) quand x tend vers + \infty \\ b) Demontrer que : \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \\ 2. f : x \to \frac{x^2}{x^2+1} \\ Montrer que pour tout reel x, |f(x) - 1| \le \frac{1}{x^2} \\ En deduire les limites de f(x) en +\infty et en -\infty

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\rm Mes resultats: \\ f(x)=x^2-3x+3 \\ f(x)=x(x-3)+3 \\ Pour x = 3 , f(x)= 3 \\ Pour x=4 , f(x)=7 ...etc \\ \\ f(x)=x^2-3x+3 \\ f(x)=x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}) \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \\ Dans la parenthese, par sommation des limites on obtient 1\\ Donc on ne considere que le terme en facteur, c-a-d x^2 \\ Si x tend vers -\infty alors f(x) tendra vers +\infty car le terme est un carre, et un carre est toujours positif. \\ On veut montrer que \forall x \in \mathbb{R} : |f(x)-1|\le \frac{1}{x^2} \\ f(x)-1=\frac{x^2}{x^2+1}-\frac{x^2+1}{x^2+1}=-\frac{1}{x^2+1} \\ On a donc : |-\frac{1}{x^2+1}|\le \frac{1}{x^2} \\ De raison justifie cette inegalite: \\ - le denominateur (x^2+1)>x^2 , donc la fraction sera plus petite \\ - le terme de gauche est negatif

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Merci par avance

Kevin






Posté par
muriel Correcteur
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 20:44

bonsoir
tout d'abord, d'un point de vue d'écriture
si tu écrit x=3, par exemple, tu as alors f(3)=3
(vois tu la différence?)
ensuite, cela ne suffit pas si tu dis pour x=3, puis x=4....
car tu pourrais très bien avoir pour x=3,5 f'3,5) < 0

en fait, il faut que tu regardes différement:
tu veux montrer que f(x) > x pour x > 3
c'est à dire f(x)-x > 0 pour x > 3

tu as:
f(x)-x=x^2-4x+3
essaies de trouver un début d'identité remarquable:
f(x)=x^2-4x+4-4+3
ensuite, factorises:
f(x)=(x-2)^2-1

pour x > 3
on a x-2 > 1
comme la fonction carré est croissante sur IR+, tu as
(x-2)^2 > 1
d'où
f(x)-x > 0

voilà

ensuite pour ta limite, je ne comprends pas pourquoi tu dois factoriser
si tu sais que ta fonction est toujours supérieur à un fonction qui tend vers +\infty
alors ta fonction tendra vers +\infty
(remarque: tu as déjà vu les limites en 2nde , ce n'est pas au programme, mais ton exercice n'est pas au programme de 2nde, il est au programme de 1ère)

pour ta limite:
tu sais (enfin, je ne sais pas )
lim_{x\to+\infty}x=+\infty
et tu sais que pour tout x > 3 , f(x) > x
donc lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Posté par
infophile
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 20:48

Merci Muriel c'est gentil de m'avoir corrigé !

C'est vrai que pour la démonstration du début, je n'ai pas été très clair, mais c'est parce que ca me paraissait trivial, en gros je n'y arrivais pas

Pour la limite c'est vrai je n'y est pas pensé... enfin ca revient au même sauf que je détermine et je ne déduis pas la limite

Sinon oui je sais que les limites sont abordées en 1ère S mais je veux un peu m'avancer sur le programme

En tout cas merci beaucoup

Kevin

Posté par
muriel Correcteur
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 20:49

désolée, mauvaise manipulation

la suite:
b)
essaies de montrer que f(x) < x pour un x suffisement petit

sinon ici, tu peux très bien utiliser ta méthode
qui est effectivement correct, mais très lourde

et enfin la fin, je dirais qu'une seule justifie ton inégalité, car le terme de droite est positive et non négative, car tu prends la valeur absolue

à la prochaine

Posté par
muriel Correcteur
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 20:51

de rien
c'est courageux de ta part de prendre de l'avance pour l'année prochaine (personnellement, je ne l'ai jamais fait), mais ne brule pas trop les étapes

Posté par
infophile
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 20:52

Encore merci pour la correction

C'est vrai que quand je dis que c'est négatif c'est stupide étant donné que l'on parle de valeur absolue !

Pour la b) tu me demandes d'essayer de montrer que f(x)<x ?

Kevin

Posté par
muriel Correcteur
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 21:14

non désolée, il faut que tu montres que f(x) > -x
je suis allée trop vite en tapant
(pas appuyé asez fort sur la touche - et j'ai oubliée d'appuyer sur la touche majuscule )

je vais essayer de le faire

tu as: f(x)+x=x^2-2x+3
d'où
f(x)+x=(x-1)^2+2 > 0 pour tout x dans IR
d'où
pour tout x,
f(x) > -x
or lim_{x\to-\infty}-x=+\infty
ainsi
lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty

voilà
bonne soirée

Posté par
infophile
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 21:27

Merci Muriel

Juste un petit conseil technique si je peux me permettre:

Pour les limites il ne faut pas oublier de mettre: \lim (la barre:

\lim{x\to +\infty}f(x) donne \lim{x\to +\infty}f(x)

Encore merci beaucoup !! Bonne soirée à toi

Kevin

Posté par
H_aldnoer
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 21:29

et meme mieux !

en tapant
3$\rm \lim_{x\to +\infty} f(x)

on obtien
3$\rm \lim_{x\to +\infty} f(x)

+

Posté par
infophile
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 21:29

Zut j'ai oublié l'indice:

\lim_{x\to +\infty}f(x) donne: \lim_{x\to +\infty}f(x)

Posté par
muriel Correcteur
re : Correction exercice sur les limites de fonctions 06-06-05 à 23:08

merci, je me demandais justement comment mettre en dessous
(j'ai appris latex par moi même, donc des moments, c'est pas trop cela )

à la prochaine



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