Bonjour

Voici l'énoncé:

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs de jetons S1,.. Sn.
Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun
des autres sacs contient 1 jeton noir et un jeton blanc.
On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton
de ces sacs, effectués de la façon suivante:
— Première étape : on tire au hasard un jeton S1
— Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 et on tire, au hasard,
un jeton de S2
— Troisième étape: après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 on
tire, au
hasard, un jeton de S3 ... et ainsi de suite...

Pour tout entier naturel k tel que 1 k n, on note Ek l'événement: « le
jeton
sorti de Sk est blanc », et k l'événement contraire.
1. a. Déterminer la probabilité de E1 notée P(E1) et les probabilités

conditionnelles:
P(E2/E1) et P(E2/E1 barre)
En déduire la probabilité de E2 notée P(E2)
b. Pour tout entier naturel k tel que 1 Justifier la relation de récurrence
suivante:
Pk+1=(1/3)Pk+1/3
2. Étude d'une suite (Uk)
On note (Uk) la suite définie par u1 =1/3 et, pour tout entier k>ou=1

Uk+1=(1/3)Uk+1/3
a. On considère la suite (Vk) définie par, pour tout élément k de N

Vk= Uk-1/2
Démontrer que (Vk) est une suite géométrique.
b. En déduire l'expression de Uk en fonction de k. Montrer que la suite
(Uk) est convergente et préciser sa limite.
3. Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminer pour quelles
valeurs de k on a:
0,4999

Mes résultats:

Le sac S1 contient 2 jetons noires et 1 jeton blanc. et tous les autres
sac contiennent un jeton noir et 1 jeton blanc.
Ek est l'événement " le jeton tiré du sac k est blanc"
1:
a) D'après le texte , on a:  p(E1)=1/3
p(E2/E1)=2/3
p(E2/E1barre)=1-(2/3)=1/3

    D'après la loi des Probabilités Totales, on a donc :

P(E2)=P(E2/E1).P(E1)+p(E2/E1barre).p(E1barre)

=4/9


                                      
b) Si pk est la probabilité de Ek, la probabilité de l'événement
contraire de Ek est alors 1 -pk.
    Or, d'après le prinicipe de tirage des jetons, on a :

p(Ek+1/Ek)=2/3
p(Ek+1/Ekbarre)=1/3

                              
2:
a) Pour k entier quelconque > 1 ,  on a :
    
P(Ek+1)=p(ek+1/ek).p(ek)+p(ek+1/ekbarre).p(ekbarre)

=1/3pk+1/3

Ensuite la je suis passer dirrectement pk+1=1/3pk+1/3 ais je droit car je
n'ai pas justifiié la relation entre pEk+1) et pk+1


2a)
Vk+1=Uk+1 -1/2
et a la fin je trouve Vk+1=1/3(Uk-1/2)

Cette suite
    est bien géométrique de raison (1/3).
b) On connait l'expression du terme général d'indice n en
fonction de n d'une suite géométrique.
     Dans le cas de la suite (vk) , on peut alors dire que pour tout
k > 1 , on a:
     vk = v1qk-1 .  Comme v1 = (1/3) - (1/2) = -1/6 , on peut alors
dire que :

Vk=-1/6.(1/(3^(k-1)))

et a la fin je trouve Uk=(1/2)(-1/(3^-k)+1)

Ensuite je ne sais plus comment faire pour montrer que la suite converge
et la dernière question je ne trouve pas non plus

Pourriez vous s'il vous plait me corriger mon travail et me donner une
aide détaillé pour les deux dernière questions

Merci beaucoup d'avance !!
@++