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courbe representative
Bonjour 
j'ai des exercices à faire durant les vacances mais je bloque dès la première question pour celui ci, je vous met l'énoncé
Le rectangle DEFG admet la droite (CO) pour axe de symétrie. On note x la mesure de la longueur AG.
Dans le repère orthonormé (A ; i , j ), la courbe Cf est la courbe représentative de la fonction définie sur l'intervalle I [0;xB] par :
f(x)=(-1/4)x^2+(3/2)x (il n'y a pas de parenthèse dans l'énoncé)
On note A(x) l'aire du rectangle DEFG en fonction de x.
1. Déterminer la valeur de xB.
2. Le point G appartenant au segment [AO], déterminer l 'intervalle J des valeurs possibles pour la
variable x exprimée en mètre ?
3. Démontrer que, pour tout x de J, (x),
A(x)=(1/2)x^3-(9/2)x^2+2x
4. En déduire la position de G sur [AO]1 pour laquelle l aire du rectangle DEFG est maximale.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter
la FAQ du forum
Q1 : quelles valeurs peut prendre x ?
x est une distance : au minimum, elle peut etre égale à ???
à ton avis, jusqu'où tu peux placer G pour pouvoir dessiner le rectangle GDEF ? peux tu le mettre en B, par exemple ?
excuse moi, j'étais sur la question 2, déjà..
q1 : que vaut xB ? tu connais la distance AB=6, alors, quelle est l'abscisse de B ?
Yasmin45,
je vais m'absenter pour une 1/2 heure.
pour xB : tu vois que la courbe coupe l'axe des abscisses en A et B :
en ces deux points f(x)=0 ; cela correspond donc aux solutions de f(x)=0.
factorise f(x), pour trouver les deux solutions (on te montre déjà que xA=0....).
ensuite, tu pourras répondre à la question 2.
pour la question 3 : vérifie ton éoncé, ce serait pas plutôt
A(x) = x^3 / 2 - 9x²/2 + 9x ?
à tout de suite.
Pour l'énoncé je vous met en photo pour qu'il n'y ai pas de confusion mais c'est bien +9x
Dans la question 1)
On reconnaît un trinôme du second degré
Delta=2.25
X1=6 et X2=0
donc Xb vaut 6
Je vous ai mis en photo pour la question 3, A(x)
Je vais donc chercher la question 2😊
ok pour l'énoncé..
pour la q1, en effet xB = 6
juste pour info, en factorisant f(x), tu n'as pas besoin de calculer delta : f(x) = x( -x/4 + 3/2) puis équation produit nul.
Pour la question 2
Comme G appartient à [AO] et que la figure est construite de façon symétrique x peut être compris sur l'intervalle J [0;3]?
Je ne suis pas sure pour la 3, je bloque mais je vais essayer la 4 tout de suite
Est ce mieux avec la factorisation ? Sinon je peux faire de cette façon
Pour la 4)
On dérive d'abord A(x) soit A'(x)=3/2x^2-9x+9
On applique la formule -b/2a
Soit 3
Le maximum est atteint lorsque G est à 3 cm de À?
Je ne sais pas si on peut utiliser « cm » car on ne donne pas d'unité dans l'exercice
en effet, x est compris entre 0 et 3.
c'est parfait.
pour étudier la variation de A(x) , on étudie le signe de sa dérivée.
A'(x) = 3/2 x² - 9x + 9 on est d'accord.
Mais ça n'est pas le max de cette fonction qui t'intéresse, c'est son signe.
c'est un polynôme du second degré, trouve ses racines, et déduis en son signe.
Ainsi, tu pourras determiner le max de A(x).
oui ; tu cherches le maximum de A(x) : le mieux c'est d'étudier ses variations, pour voir quand elle est au maximum.
Pour ça, tu étudies le signe de la dérivée.
Ta dérivée est correcte, trouve ses racines.
tu sais qu' un extremum de A(x) existe pour A'(x) = 0 .
Si tu notes les variations, tu seras sûr que c'est un maximum.
D'accord,
delta=27
x1 environ = 1.3 et x2environ=4.7
Ne peut on pas utiliser la forme canonique plutôt ? Je vais essayer car nous avions fais ainsi en classe. Je vous redis ce que je trouve
oui, delta = 27
donc racine de delta = V27 = 3V3 en valeur exacte
ainsi
x1 = ??? (en valeur exacte)
c'est vrai que c'est environ égal à 1,3 cm mais tu peux garder plus de décimales ...
forme canonique : oui, ça marche aussi.
ensuite : tableau de signes de la dérivée, puis variations de A(x)..
J'ai trouver
Alpha=3 et bêta =-4,5
Soit 3/2(x-3)-4,5
Mais je bloque vraiment car lorsque a>0 on peut trouver seulement le minimum..?
Yasmin45,
tu cherches le max de A(x), pas de A'(x)...
Pour trouver le max de A(x), tu dois chercher quand la dérivée A'(x) s'annule.
tu as posé A'(x)= 0 c'est bien.
avec delta tu as trouvé x1 et x2 (pour lesquelles, je t'ai fait remarquer que tu aurais pu garder les valeurs exactes).
avec la forme canonique
A'(x)= 3/2 ( x-3)² - 4,5 (tu avais oublié le carré... faute de frappe, je suppose).
pose A'(x)=0 pour trouver les racines de A'(x) (en valeurs exactes ! ) bien sûr, tu trouveras les mêmes racines.
ensuite seulement, tu feras le tableau de signes.
Voila, je m'y remet oui j'avais oublié le carré désolé
Alors A'(x)=0
3/2x^2-9x+9=0 on a delta=27 x1=3-V3 x2=3+V3
on obtient un tableau avec les variations de A suivantes:
a'(x)=0 quand x vaut 3-V3 ou 3+V3
A'(x)<0 quand x est dans -infini; 3V3 U 3+V3; +infini (exclu, désolé je n'arrive pas à mettre les crochets..)
A'(x)>0 quand x est dans l'intervalle 3+V3;3+V3
ensuite que dois-je faire ?
OK pour les valeurs de x1 et x2...
mais ensuite, tu te trompes sur le signe..
a=3/2 donc a>0
le polynome est du signe de -a entre les racines..
rectifie ta réponse !
Ensuite, ramène toi à l'intervalle dans lequel se trouve x;
on a dit x appartient à [0 ; 3]..
determine le signe de A'(x) sur cet intervalle réduit, et déduis en le sens de variation de A(x) sur cet intervalle.
OK ?
ahh mince je ne comprenais pas pourquoi c'était faux, je me suis trompée en tapant, j'inverse donc <et>
soit
A'(x)>0 quand x est dans -infini; 3V3 U 3+V3; +infini (exclu, désolé je n'arrive pas à mettre les crochets..)
A'(x)<0 quand x est dans l'intervalle 3+V3;3+V3
Dans l'intervalle 0;3 A'(c) est positif sur l'intervalle -infini 3-V3 puis nul à 3-V3 puis negatif sur c
donc A(x) croissante sur l'intervalle -infini 3-V3 puis décroissante sur l'intervalle -infini 3-V3
pour ca c'est ok pour moi comment trouver le maximum ensuite ?
OK pour la rectif..
mais ensuite, tu continues à parler de -oo alors que tu dois te placer dans [0 ; 3]..
x varie de 0 à 3, pas de -oo à 3-V3
A'(x) est nulle pour x = 3-V3
A'(x) est positive de 0 à 3-V3, et négative de 3-V3 à 3
A(x) est croissante de 0 à 3-V3, et décroissante de 3-V3 à 3
alors à ton avis, pour quelle valeur de x A(x) est elle au maximum ?
ah oui c'était pourtant évident désolé
j'ai tracé le graphique avec ma calculatrice pour visualiser
pour x=0?
???
quand x=0, G est en A, et le rectangle est plat..
non, ça n'est pas ça !
A(x) est croissante de 0 à 3-V3, et décroissante de 3-V3 à 3 !
d'abord elle monte, jusque x=3-V3, puis elle descend.
le sommet est atteint pour x= ??
mais non.
n'as tu pas fait un tableau de variations ?
"ça" monte jusque x=3-V3 puis "ça" descend.
une colline : tu pars de 0, tu montes jusque x=3-V3, puis tu descends jusque 3.. à ton avis, quand es tu au sommet ?
Depuis longtemps, tu sais que quand la dérivée s'annule, tu te trouves à un extremum.
A'(x) s'annule pour x= 3-V3
donc ....
je suis donc au sommet quand x vaut 3-V3 donc le maximum est atteint en 3-V3
donc le maximum de la fonction est atteinte en x=3-V3
Pour que l'aire soit maximal, il faut que j'ai sois exactement à 3-V3 qui est egal à 1.26795 environ= 1.27?
Merci beaucoup vraiment !
pour la question 3,
j'ai esquissé quelques recherches mais je bloque..
-on reste sur J soit l'intervalle 0; 3
-L'aire DEFG est construit de facon symétrique donc on devra "doubler"
-on a x = (AG)
Par contre je ne vois pas comment modéliser afin d'avoir A(x)
Par contre je ne vois pas pourquoi
oui, l'aire du rectangle est maximale pour x=3-V3
donc quand AG = environ 1,27 cm.
ensuite tu parles de la question 3 ?
mais on a déjà répondu à la question 3, et à la question 4 aussi (qui était la dernière apparemment).
Je ne vois pas de quoi tu parles.
ah oui, excuse moi, comme on est passé à la 4, je n'ai pas vu qu'on n'avais pas répondu à la 3...
A(x) = GF * DG
exprime GF en fonction de x
Nous n'avons pas démontrer que A(x)= 1/2x^3-9/2x^2+9x par le calcul
J'ai utilisé la fonction sans la démontrer pour pouvoir faire la question 4 😊
GD je ne sais pas trop.. Il dépend de x plus la valeur de x sera faible, plus la hauteur le sera et inversement.
AG est perpendiculaire à DG, j'aurais peut être pus utiliser Pythagore mais là encore je ne vois pas comment car la courbe ferait office d'hypoténuse
mais je ne vois pas comment modéliser ça concrètement
tu vois que DG = yD
comme D est sur la courbe de f(x),
alors DG = (-1/4)x^2+(3/2)x
il te reste donc à écrire A(x)= DG * GF
avec DG = (-1/4)x^2+(3/2)x
et GF = (6-2x)
vas y !!
Okk alors j'ai fais
((-1/4)x^2+(3/2)x)*(6-2x)
, je tombe bien sur la valeur de l'énoncé !! il y a beaucoup d'étape..
Je tenais à vous remercier de l'aide que vous m'avez apporter !! Bonne soirée et à bientôt☺️
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