1)

Equation du cylindre:

perpendiculaire à (Oz) x² + y² = R² quel que soit z
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L'intersection du cylindre avec un plan d'équation z = k (donc perpendiculaire à (Oz))
a pour équations:

x² + y² = R²
z = k

C'est un cerccle de centre (0 ; 0 ; k) et de rayon R.
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2)
L'intersection du cylindre avec un plan d'équation y + ax + b = 0 (donc // à (Oz))

-> le système.

x² + y² = R²
y + ax + b = 0

y = -ax - b

x² + (-ax - b)² = R²

x² + a²x² + b² + 2abx = R²

x²(1+a²) + 2abx + b² - R² = 0


x = [-ab +/- V(a²b² - (1+a²)(b²-R²))]/(2(1+a²))  avec V pour racine carrée.
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Si a²b² - (1+a²)(b²-R²) < 0, alors il n'y a aucune valeur de x qui convient, l'intersection de (C) avec un plan parallèle à (Oz) est dans ce cas vide.
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Si a²b² - (1+a²)(b²-R²) = 0, alors il n'y a une et une seule valeur de x qui convient.
c'est x = -ab/(2(1+a²))
Avec y = -ax - b, il vient alors: y = a²b/(2(1+a²)) - b
y = (a²b-2b-2a²b)/(2(1+a²))
y = (-a²b-2b)/(2(1+a²))
y = -b.(a+2)/(2(1+a²))
C'est donc une droite d'équation:
x = -ab/(2(1+a²))
y = -b.(a+2)/(2(1+a²))
z = k (k quelconque)
l'intersection de (C) avec un plan parallèle à (Oz) est dans ce cas 1 droite.
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Si a²b² - (1+a²)(b²-R²) > 0, alors il n'y a deux valeurs de x qui conviennent.
soit
x1 = [-ab - V(a²b² - (1+a²)(b²-R²))]/(2(1+a²))
et
x2 = [-ab + V(a²b² - (1+a²)(b²-R²))]/(2(1+a²))

... ces 2 valeurs vont conduire à 2 droites ...
l'intersection de (C) avec un plan parallèle à (Oz) est dans ce cas 2 droites.
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Vérifie les calculs, je suis très distrait.

Merci beaucoup J-P
Je vais tout vérifier maintenant que j'ai le raisonnement je vais faire un effort pour les calculs quand même

Bonjour,
En fait j'ai pas tout compris là...

Pourquoi "L'intersection du cylindre avec un plan d'équation est y + ax + b = 0"?

Et comment faites vous pour arriver à là?
x = [-ab +/- V(a²b² - (1+a²)(b²-R²))]/(2(1+a²)) avec V pour racine carrée.

Tout plan // à Oz a une équation qui peut se mettre sous la forme : y + ax + b = 0 avec a et b des réels quelconques.

Pour trouver l'intersection du cylindre avec le plan, il faut donc résoudre le système:

x² + y² = R²
y + ax + b = 0
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De l'équation y + ax + b = 0, on tire: y = -ax - b

et ensuite, on remplace y par (-ax-b) dans l'équation x² + y² = R²

On a donc: x² + (-ax - b)² = R²

On développe et on arrive à: x²(1+a²) + 2abx + b² - R² = 0

Qui est une équation du second degré en x, du type: Ax² + Bx + C = 0 (on a A = 1+a², B = 2ab et C = b² - r²)


-> les solutions sont données par: x = (-B +/- V(B²-4AC)]/(2A)

et avec A = 1+a², B = 2ab et C = b² - r², il vient:

x = [-ab +/- V(a²b² - (1+a²)(b²-R²))]/(2(1+a²))
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Sauf distraction.  

Merci J-P j'ai compris
Juste une autre petite question encore.
Pour a²b² - (1+a²)(b²-R²) > 0, une fois que j'ai trouvé les deux racines je fais comment pour trouver les équations de droites?
Ou sinon je les laisse comme elles sont
En tout cas merci beaucoup

Tu procèdes de la même manière que dans le cas avec a²b² - (1+a²)(b²-R²) = 0, mais avec les valeurs de x1 et de x2, chacune des valeurs débouchera sur 1 droite. (donc 2 droites en tout).