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Dans un repère
Bonsoir,
J'ai un exercice de première que j'essaye de faire mais je bloque 
On a: une parabole d'équation y=x² , A(3;0) et B(x;x²)
à la parabole.
1/ Faire la figure.
Fait.
2/ La distance (A,B) est minimale 
la distance (A,B)² est minimale. Expliquer pourquoi.
Je bloque ..
3/ f la fonction d(A,B)²
Quelle est son équation ?
4/ Sa dérivée ? je la trouverais si j'ai son équation.
5/ Quelle sont ces variations sur 
.
Sa devrait aller.
6/ Chercher les valeurs de x pour que le carré de la distance (A,B) est minimale.
Merci bcp
Bonsoir.
Si tu fais un dessin de la courbe et du point A, tu te rendras compte facilement que que la distance (AB) peut être calculée par Pythagore.
On a le triangle AOB. La hauteur de ce triangle est x² (sachant que les coordonnées de B sont (x; x²)
Le triangle BXA est rectangle en X, donc:
AB² = (x²)² + (3-x)²
AB² = x4 + 9 - 6x + x²
AB = 
(x4 + 9 - 6x + x²)
Johnny
Excuse-moi!
Je n'avais pas remarqué qu'on te demande la fonction distance AU CARRE.
Oui: la dérivée, dans ce cas là est bel et bien la 2eme que t'as postée.
Johnny
T'as raison.
J'ai verifié la question et ma solution proposée, et je ne vois pas d'autre façon de calculer cette distance.
Par contre, je peux te donner une idée de comment continuer:
Une racine évidente est x=1 ( trouve f'(1), et tu verras que c'est zéro)
Donc: f'(x) est factorisable comme
f'(x) = (x-1)(ax² + bx + c)
Le 2eme facteur est déjà un polynôme de 2nd dégré dont les coéfficients a, b et c doivent être calculées.
On développe cette expression et on égalise au polynôme de 3eme dégré de depart:
f'(x) = ax^3 + bx² + cx - ax² - bx - c
f'(x) = ax^3 + (b-a)x² + (c-b)x - c
Donc:
ax^3 + (b-a)x² + (c-b)x - c = 4x^3 + 2x - 6
a = 4
b-a = 0 , ===> a = b = 4
c = 6
Donc:
f'(x) = (x-1)(4x² + 4x + 6)
Calculons maintenant les racines du deuxième facteur et tu trouveras las 3 racines de f'(x).
Johnny
Très bien, et je m'attendais à ça!!!
Donc, il n'ya qu'un seule racine REELLE.
Cela veut dire que 4x² + 4x + 6 est toujours positif (car le terme au carré a un coéfficient positif) et le signe, donc, de f'(x) depend de x-1.
x-1 est négatif pour x<1 et positif pour x>1. Elle vaut 0 en x=1
Donc: La fonction f(x) est décroissante pour x<1 et croissante pour x>1. Elle atteint alors un mininum en x=1
Johnny
Merci beaucoup pour vos explications très compréhensible.
Donc pour la derneire question c'est x=1 pour que le carré de la distance (A,B) soit minimale ?
Une dernière chose: Pour la question 2:
2/ La distance (A,B) est minimale la distance (A,B)² est minimale. Expliquer pourquoi.
Il faut faire 2 démonstrations:
1) La distance (A,B) est minimale 
la distance (A,B)² est minimale
2) La distance (A,B)² est minimale la distance (A,B) est minimale
Johnny
En fait, la numéro 1 est relativement facile:
1) La distance (A,B) est minimale la distance (A,B)² est minimale
Cela est facile à demontrer car x² est une fonction strictement croissante en [0; +
[
Pour la 2) : La distance (A,B)² est minimale la distance (A,B) est minimale
C'est aussi vraie parce que la fonction x est strictement croissante en [0; +[
Johnny
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