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De sac en sac -probabilités
bonsoir, dans mon exercice il y a deux parties qui sont indépendantes, j'ai fé la deuxième, mais la première je ne sais pas vraiment comment m'y prendre. Voici l'énoncé:
On désigne par n un entier
2. On imagine n sacs de jetons S1, S2,....Sn. Au départ, le premier sac contient deux jetons noirs et un jeton blanc, et chacun des autres sacs contient un jeton noir et un jeton blanc.On se propose d'étudier l'evolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante:
-première étape: on tire au hasard un jeton de S1;
-2e étape: on place ce jeton dans S2 et on tire au hasard un jeton de S2;
-3e étape: on place le jeton tiré dans S3, puis on tire un jeton de S3, etc.
Pour tout entier k compris entre 1 et n, on note Ek l'evenement "le jeton sorti de Sk est blanc" et Ek "barre" l'evenement contraire.
1A)determiner p(E1) et les proba. conditionneles pE1(E2) et pEn (E2). En déduire p(E2)
1B)on note pk la proba de Ek. JUstifier la relation de récurrence suivante: Pk+1 = 1/3(Pk)+1/3.
Les question 2 et 3 je les ai deja faites mais pour les probabilités et la recurrence du 1) j'ai du mal
Merci de votre aide.
bonsoir,
E1=tirer un jeton blanc de S1 qui contient 2 noirs et 1 blanc=>p(E1)=1/3
E2/E1=tirer un jeton blanc de S2 sachant qu'on a sorti un blanc de E1
le jeton sorti de E1 est mis dans S2 qui contient alors 1 noir et 2 blancs=>p(E2/E1)=2/3
E2/E1barre=tirer un jeton blanc de S2 sachant que l'on n'a pas sorti un blanc de S1 donc que l'on a sorti un noiret qu'on l'a mis dans S2 qui contient alors 2 noirs et 1 blanc=>pE2/E1barre)=1/3
E2=(E2etE1)ou(E2etE1barre) l'union étant disjointe
p(E2)=p(E2etE1)+p(E2etE1barre)=p(E1)p(E2/E1) + p(E1barre)p(E2/E1barre)
p(E2)=(1/3)(2/3) +(2/3)(1/3)=4/9 (sauf erreur)
vérifions p2=4/9
(1/3)p1+1/3=(1/3)(1/3)+1/3=1/9 +1/3=4/9=p2
oui mais pour E2/E1 le jeton tiré de S1 est tiré au hasard donc il peut etre noir non?
bonjour,
E2/E1 c'est"tirer un blanc de S2 sachant E1 c'est à dire sachant que l'on a tiré un blanc de S1"
E2/E1barre c'est "tirer un blanc de S2 sachant que l'on a tiré un noir de S1"
je pense avoir compris le texte (mais pas p(En(E2)) erreur de frappe?)
pour la dernière partie:
Ek+1=(Ek+1 et Ek)ou(Ek+1 et Ek barre) union disjointe
d'où pk+1=p(Ek+1 et Ek) + p(Ek+1 et Ek barre)
=p(Ek)p(Ek+1/Ek)+p(Ekbarre)p(Ek+1/Ekbarre)
p(Ek+1/Ek)=2/3 on a tiré un blanc de Sk=>il ya 2 blancs dans Sk+1
p(Ek+1/Ek barre)=1/3 on a tiré un noir de Sk=>il y a 1 blanc dans Sk+1
d'où pk+1=(2/3)pk+(1/3)(1-pk)=(1/3)pk + 1/3
la suite des pk est une suite arithmético-géométrique.
bonne journée
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