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débute les suites et suis bloqué sur un exercice merci de m aide
bonsoir, donc je viens à peine de commencer les suites et je suis bloqué sur la fin de cet exercice à partir du 4° b) (et en déduire...). Je vous remercie d'avance pour votre aide :
" On appelle suite de Fibonacci la suite (v[n]) définie de la façon suivante :
u[0] = 1 ; u[1] = 1
et, pour tout entier naturel n, u[n+2] = u(n+1] + u[n]
On définit alors la suite (v[n]), pour tout naturel n, par :
v[n] = (u[n+1])/(u[n])
1° Calculer les onze premiers termes de la suite (u[n]) et les valeurs, arrondies à six décimales si nécessaire, des dix premiers termes de la suite (v[n]).
2° Montrer que la suite (v[n]) vérifie la relation de recurrence :
v[n+1] = 1 + 1/(v[n])
3° Montrer que le nombre 
= (1+
5)/2 vérifie la relation :
² - = 1
4° Montrer, pour tout entier naturel n , l'égalité :
v[n+1] - = {(-1)(-v[n])}/v[n]
et en déduire |v[n+1] - | 
0,7
5° En déduire, pour tout n, l'inégalité :
(0,7)^n
De quel nombre se rapprochent les termes de la suite (v[n])lorsque n devient grand ?
6° Contrôler ce résultat en compararnt les valeurs à 10^-9 près de et de v[30]. "
P.S. : j'ai égallement une autre petite question. Dans un exercice je dois montrer qu'une suite L(n) est majoré par un certain terme. J'arrive à : 0 < L(n+1) - L(n) < 1. Puis-je en conclure que cette suite est majorée par 1 et minorée par 0 ?
mercie une fois de plus pour votre aide.
désolé j'ai fait une petite faute de frappe. c'est |v[n] - | (0,7)^n à la quezstion 5° et non ce que j'avais écrit. Désolé.
Bonjour.
4ob. Par definition, >1 (3o) et v[n]>1 (2o).
|v[n+1]-| = |{(-1)(-v[n])}/v[n]| = |(-v[n])/(v[n])| (-1=1/),
ou |v[n+1]-| = |-v[n]|/v[n] (>1 et v[n]>1).
Donc |v[n+1]-| - 0,7=|-v[n]|/v[n] - 0,7,
si 
v[n], |v[n+1]-| - 0,7 = (-v[n])/v[n] - 0,7 (v[n]-v[n])/v[n] - 0,7 =
= (-1)/ - 0,7 = -0.75065778 < 0,
si <v[n], |v[n+1]-| - 0,7 = (-+v[n])/v[n] - 0,7 v[n]/v[n] - 0,7 =
= 1/ - 0,7 = -0.5145898 < 0.
Regroupe ces deux situations, nous sommes |v[n+1]-| - 0,7 0, ou |v[n+1]-| 0,7.
J'espere que c'est just.
salut :
tu as 0 < L(n+1) - L(n) < 1 pour tout n.
donc la suite L est strictement croissante.
par contre pour dire avec seulement ceci que pour tout n dans N 0<L(n)<1, je ne pense pas.
contre exemple :
soit la suite L definie sur N* par L(n)=ln(n)
donc L(n+1)-L(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln[(n+1)/n]=ln[1 + 1/n]
comme 1+ 1/n > 1 et que la fonction ln est croissante sur R*+ on a
ln(1+ 1/n)>0
mais on a aussi 1,5>1/n pour tout n dans N*
donc 2,5>1+1/n
donc e>2,5>1+1/n
ce qui fait que ln(e)=1>ln(1+1/n)
on a bien 0<L(n+1)-L(n)<1 mais L(n) n'est pas majoree.
donne l'enonce entier de cet exo s.v.p.
merci pour ta réponse minotaure. Voilà l'ennoncé, c'est le 2° :
"On construit un "escargot" formé de demi-cercles successsifs, chaque demi-cercle ayant un rayon égal à la moitié du précédent.
Le premier demi-cercle a pour rayon 1.
1° x est un nombre réel tel que :
0 < x < 1
et n un entier naturel non nul.
a) Développer le produit :
(1-x)(1+x+x²+...+x^n)
b) En déduire que :
1+x+x²+...+x^n 1/(1-x)
2° On note Ln le périmètre d'un escargot formé de n demi-cercles successifs.
Montrer que la suite (Ln) est majorée et en donner un majorant."
bon. bah ca n'a pas l'air bien complique.
d'ailleurs exo deja fait. consulte la fonction recherche pour plus d'infos.
1)a). le produit est
(1-x)(1+x+x²+...+x^n)=(1-x^(n+1))
b) 0<x<1 donc 0<x^(n+1)<1 car n entier naturel.
donc -1<-x^(n+1)<0
donc 0<1-x^(n+1)<1
or 1+x+x²+...+x^n = (1-x^(n+1))/(1-x) car x different de 1
comme 1-x^(n+1)<1 on a 1+x+...+x^n=<1/(1-x)
2) premier demi cercle a rayon 1 donc perimetre : Pi
deuxieme rayon 1/2 donc perimetre Pi/2
troisieme rayon 1/4 donc perimetre Pi/4
....
n eme rayon 1/2^(n-1) donc perimetre Pi/[2^(n-1)]
donc L(n)=Pi+Pi/2+Pi/4+...+Pi/[2^(n-1)]
L(n)=Pi*[1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)]
d'apres question 1b) en prenant x=1/2 on a :
1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=1/[1-1/2]=2
donc L(n)=<Pi*2.
a+
voila le lien :
un souci pour un exercice sur les suites numériques
a+
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