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 Défi : inégalité 
Posté par 
infophile  25-06-07 à 20:30
Bonjour 

Citation :
Soient  et  deux réels positifs tels que 

Montrer que 

Réponse blanquée svp.

Edit Kaiser : énoncé corrigé
 Posté par 
gui_toure :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:31
Bonsoir Kévin 
 Posté par 
1 Schumi 1re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:32
Bonsoir,

 Cliquez pour afficher
a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)

 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:32
Salut guitou 

Tu essayes ?
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:32
Schumi >

 Cliquez pour afficher
Oui et ?
 Posté par 
gui_toure :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:33
Je suis en train..
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:33
Ah ça y est je viens de voir ta réponse s'afficher correctement Schumi 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:34
Mais je me suis trompé dans l'énoncé c'est  

Sinon c'est super facile 
 Posté par 
gui_toure :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:35
Je me disais aussi
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:38
Merci Kaiser 
 Posté par 
kaiser re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 20:39
 Posté par 
moctarre :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:02
Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

Donc 

Est ce juste ?
 Posté par 
gui_toure :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:04
J'ai une piste

 Cliquez pour afficher
Positifs ou strictment positifs, parce que ca pourrait me poser problème.. 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:05
Moctar >> 
 Cliquez pour afficher
Le passage de la 1ère à la 2ème ligne ne marche pas, rien ne s'annule 

Estelle 
 Posté par 
cailloux re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:06
>> Moctar 

 Cliquez pour afficher
 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:06
Exact Estelle, moctar ça ne fonctionne pas 

guitou > positifs 

Estelle > Tu essayes ?
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:07
Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
J'essaie mais comme pour le système la dernière fois, je ne sais pas comment commencer ni quoi faire.

Estelle 
 Posté par 
moctarre :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:09
merci à tous pour la correction,je réessaie 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:13
Ma solution n'est pas la plus simple je pense donc je vous laisse un peu chercher et si vous voulez une piste je vous aiguillerais dans mon sens.

Estelle > 

 Cliquez pour afficher
Tu en veux une tout de suite ?
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:16
Kévin >> 

 Cliquez pour afficher
Oui, je veux bien 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:19
Estelle > 

 Cliquez pour afficher
Ok, alors essaie de factoriser dans l'inégalité pour faire apparaître a²+b² 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:25
 Cliquez pour afficher
On sait que : .

Donc on a l'inégalité : .

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:27
Estelle >

 Cliquez pour afficher
Sauf qu'ici on est bloqué, essaye vraiment d'avoir a²+b² isolé 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:34
Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
Je pose la division ?

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:36
Estelle >

 Cliquez pour afficher
Regarde le membre de droite (a-b) et celui de gauche a^3+b^3, et tu veux faire apparaître a²+b² comment tu vas faire ? 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:44
Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
a^3+b^3-(a-b) ça ne fait pas a²+b² donc je ne vois pas du tout... 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:53
Estelle >

 Cliquez pour afficher
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 21:54
Estelle >

 Cliquez pour afficher
Non pardon 

Décidemment les signes ce soir 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:00
 Cliquez pour afficher
 ?

J'y vais, bonne fin de soirée et merci pour le défi, je continue demain 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:04
Estelle >

 Cliquez pour afficher
La dernière fois tu me transformé un produit en somme, ce coup-ci c'est une soustraction en division 

Bonne nuit 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:06
 Cliquez pour afficher
J'ai failli dire ça (la soustraction ) mais finalement j'ai changé ^^

Merci, bonne fin de soirée 

Estelle 
 Posté par 
xtasxre :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:49
Je crois avoir trouvé :

 Cliquez pour afficher

a-ba3+b3=(a+b)(a2+b2)-ab(a+b)

=> a2+b2(a-b+ab(a+b))/(a+b)

=> a2+b2(a-b)/(a+b) + ab

Soit f: x->(x-b)/(x+b) + xb définie sur [0,1] (car a et b sont dans [O,1] puisque 0a3a3+b3a-ba

donc aa3, donc a est dans [O,1] et pour b, on a

0a3+b3a-b

donc 0a-b, d'où ba, donc b est aussi dans [0,1])

f': x-> 2b/(x+b)2+ b  0

Donc f est croissante sur [0,1] et on a donc

f(x)f(1) pour tout  de [0,1]

f(1) = (1-b)/(1+b) + b = (1+b2)/(1+b) et 0b1

donc 

b2b

d'où f(1)1

D'où le résultat final :

a2+b2f(1)1

 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:54
xtasx >

 Cliquez pour afficher
Tu as un peu près le même raisonnement que moi, je pense que c'est correct 
 Posté par 
xtasxre :  Défi : inégalité   25-06-07 à 22:58
 Cliquez pour afficher
Ok merci; énigme intéressante, j'ai mis un bon moment à trouver !

Et merci aussi pour la correction de mes smileys parasites, je ne les avais pas vus venir 
++
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   25-06-07 à 23:06
xtasx >

 Cliquez pour afficher
J'ai pas de correction "officielle" mais ce que tu as fait me semble bon et il y a plusieurs méthodes pour résoudre le problème 

Merci d'avoir participé 
 Posté par 
elhor_abdelali re :  Défi : inégalité  26-06-07 à 01:23
Bonjour infophile 

 Cliquez pour afficher
on part de l'inégalité bien connue  on multiplie de part et d'autre par la quantité positive ou nulle  

ce qui donne  puis on ajoute de part et d'autre  

ce qui donne  et en utilisant l'hypothèse on voit que ,

Bonus : Cas d'égalité  et .  (sauf erreur)
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 01:26
Joli ehlor 

Ca ne vaut plus le coup que je mette ma solution 
 Posté par 
1 Schumi 1re :  Défi : inégalité   26-06-07 à 08:58
Je me disais bien que c'était un peu trop facil.

Ayoub.
 Posté par 
elhor_abdelali re :  Défi : inégalité  26-06-07 à 13:57
Merci infophile 

elhor  
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 14:17
Estelle > 

 Cliquez pour afficher
Tu veux continuer ou tu as lu les blanqués ?
 Posté par 
lyonnaisre :  Défi : inégalité   26-06-07 à 15:33
Kevin >>

 Cliquez pour afficher
J'ai déjà lu cette énigme sur un autre site (  ). Félicitations d'ailleurs 

Romain

 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   26-06-07 à 15:45
Kévin >>

 Cliquez pour afficher
Je n'ai pas lu et je continuerai un peu plus tard 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 15:51
romain >

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Zut je suis grillé 

Mais je me disais bien que rob... me disait quelque chose 

Estelle >

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Comme tu veux. Par contre tu veux qu'on continue dans ma direction ? Parce qu'ehlor a une solution plus élégante 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   26-06-07 à 15:58
Kévin >> 
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Comme tu veux 

Les deux me vont, et je sais que dans tous les cas je vais galérer 

Je te laisse choisir pour m'aiguiller.

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 16:02
Estelle >

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Ok. Alors quand tu auras le temps, tu reprendras l'égalité de 22h04 et tu remplaceras ainsi  dans l'inégalité 
 Posté par 
_Estelle_re :  Défi : inégalité   26-06-07 à 16:10
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On sait que :

Donc : 

Puis j'isole  ?

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 18:10
Estelle >

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Passe le a²b et ab² à droite et factorise
 Posté par 
moctarre :  Défi : inégalité   26-06-07 à 19:11
Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

donc 

Est ce juste ? 
 Posté par 
infophilere :  Défi : inégalité   26-06-07 à 19:23
moctar >

 Cliquez pour afficher
Ah ben oui c'est encore plus direct comme ça 

Faudrait tout de même justifier que a-b>0 mais bien vu ! 
  Posté par 
moctarre :  Défi : inégalité   26-06-07 à 22:05
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 or  donc 

Après on montre que a=b si et seulement si a=b=0