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Définir une fonction
Bonjour,
je suis au CEGEP (Quebec) dans un cours de mathématique pour apprendre le calcul différentiel. Un de mes exercices consiste <a déterminer la continuité de cette fonction. Cependant, je comprend plus ou moins.. J'aimerais donc si vous pourriez m'éclairer sur la fonction suivante:
f(x) = 9x-6 x <= 5
f(x) = -2x+44 5 < x
a) Est-ce que f(5) est défini?
Si oui, inscrivez la valeur:
b) lim f(x)
x->5-
c) lim f(x)
x->5+
d) Est-ce que la fonction est continue en X=5
Merci de m'aider,
Gabriel
Bonjour
Quand x est inférieur à 5, f est égale à g : 
9x-6. Donc la limite de f quand x tend vers 5 par valeurs inférieures est égale à la limite de g en 5, qui devrait être simple à calculer. Le raisonnement est analogue pour les valeurs supérieures à 5.
Bonsoir
f(x) = 9x-6 x <= 5
f(x) = -2x+44 5 < x
Pourquoi y a t il deux expressions de f(x) qui ne sont pas égales ?
Il y a un problème dans ton énoncé 9x-6 n'est pas égal à -2x+44
ismailking : Son énoncé est tout à fait correct, même s'il aurait pu être plus clair.
f(x) = 9x-6 si x ≤ 5, et -2x+44 sinon.
D'accord, j'ai donc réussi à calculer la g(x) lorsque la limite tend vers 5+ et f(x) lorsque la limite tend vers 5-. Quant à savoir si la fonction est définie ou non, comment s'y prend-t-on?
Gabriel
f(5) est évidemment défini. Pas besoin de calculer la limite pour ça. On te dit f(x) = 9x-6 si x ≤ 5, donc f(5) = 9*5-6 = 39.
Ensuite tu as calculé les limites en 5 à gauche et à droite. Si elles sont égales à un même réel, par exemple l, alor la fonction admet une limite en 5, et cette limite vaut l.
Enfin, une fonction est continue en x si et seulement si la limite de f en x existe et vaut f(x). Donc ici, est-ce que f est continue en 5 ?
Non car g(5) = 34 et f(5) = 39 : ce n'est donc pas le même réel. Cela veut dire que la limite entre les deux fonctions est inexistante et si la limite n'existe pas, une fonction ne peut être continue. Mais je crois seulement que j'ai complètement loupé ce que représentait une fonction définie... Je veux dire, qu'est-ce qui fait qu'une fonction est définie?
Alors déjà attention, "la limite entre les deux fonctions", ça ne veut rien dire. C'est la limite d'une fonction en un point. Ici la limite de f en 5 n'existe pas parce que les limites à gauche et à droite sont différentes. Et en effet, puisque f n'admet pas de limite en 5, elle ne peut pas être continue (en 5, ou sur tout intervalle dont l'intérieur contient 5).
Une fonction est défnie si elle a une valeur. Par exemple la fonction x 1/x n'est pas définie pour x = 0 (parce que 1/0 n'a pas de valeur). Ici on te donne une définition pour f(5), et cette définition donne bien une valeur réelle, donc f est bien définie en 5.
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