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Niveau première
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Définir une fonction

Posté par
Tigab45
10-09-11 à 21:44

Bonjour,

je suis au CEGEP (Quebec) dans un cours de mathématique pour apprendre le calcul différentiel. Un de mes exercices consiste <a déterminer la continuité de cette fonction. Cependant, je comprend plus ou moins.. J'aimerais donc si vous pourriez m'éclairer sur la fonction suivante:


f(x) = 9x-6   x <= 5
f(x) = -2x+44 5 < x

a) Est-ce que f(5) est défini?

Si oui, inscrivez la valeur:


b) lim  f(x)
   x->5-

c) lim f(x)
   x->5+

d) Est-ce que la fonction est continue en X=5




Merci de m'aider,


Gabriel

Posté par
Bachstelze
re : Définir une fonction 10-09-11 à 21:48

Bonjour

Quand x est inférieur à 5, f est égale à g : 9x-6. Donc la limite de f quand x tend vers 5 par valeurs inférieures est égale à la limite de g en 5, qui devrait être simple à calculer. Le raisonnement est analogue pour les valeurs supérieures à 5.

Posté par
Bachstelze
re : Définir une fonction 10-09-11 à 21:48

g : x 9x-6, pardon.

Posté par
Ismailking
re : Définir une fonction 10-09-11 à 21:49

Bonsoir

Citation :

f(x) = 9x-6   x <= 5
f(x) = -2x+44 5 < x


Pourquoi y a t il deux expressions de f(x) qui ne sont pas égales ?
Il y a un problème dans ton énoncé 9x-6 n'est pas égal à -2x+44

Posté par
Bachstelze
re : Définir une fonction 10-09-11 à 21:51

ismailking : Son énoncé est tout à fait correct, même s'il aurait pu être plus clair.

f(x) = 9x-6 si x ≤ 5, et -2x+44 sinon.

Posté par
Tigab45
re : Définir une fonction 10-09-11 à 22:03

D'accord, j'ai donc réussi à calculer la g(x) lorsque la limite tend vers 5+ et f(x) lorsque la limite tend vers 5-.  Quant à savoir si la fonction est définie ou non, comment s'y prend-t-on?



Gabriel

Posté par
Bachstelze
re : Définir une fonction 10-09-11 à 22:08

f(5) est évidemment défini. Pas besoin de calculer la limite pour ça. On te dit f(x) = 9x-6 si x ≤ 5, donc f(5) = 9*5-6 = 39.

Ensuite tu as calculé les limites en 5 à gauche et à droite. Si elles sont égales à un même réel, par exemple l, alor la fonction admet une limite en 5, et cette limite vaut l.

Enfin, une fonction est continue en x si et seulement si la limite de f en x existe et vaut f(x). Donc ici, est-ce que f est continue en 5 ?

Posté par
Tigab45
re : Définir une fonction 10-09-11 à 22:18

Non car g(5) = 34 et f(5) = 39 : ce n'est donc pas le même réel. Cela veut dire que la limite entre les deux fonctions est inexistante et si la limite n'existe pas, une fonction ne peut être continue. Mais je crois seulement que j'ai complètement loupé ce que représentait une fonction définie... Je veux dire, qu'est-ce qui fait qu'une fonction est définie?

Posté par
Bachstelze
re : Définir une fonction 10-09-11 à 22:29

Alors déjà attention, "la limite entre les deux fonctions", ça ne veut rien dire. C'est la limite d'une fonction en un point. Ici la limite de f en 5 n'existe pas parce que les limites à gauche et à droite sont différentes. Et en effet, puisque f n'admet pas de limite en 5, elle ne peut pas être continue (en 5, ou sur tout intervalle dont l'intérieur contient 5).

Une fonction est défnie si elle a une valeur. Par exemple la fonction x 1/x n'est pas définie pour x = 0 (parce que 1/0 n'a pas de valeur). Ici on te donne une définition pour f(5), et cette définition donne bien une valeur réelle, donc f est bien définie en 5.

Posté par
Tigab45
re : Définir une fonction 10-09-11 à 22:39

Ahhh! C'est maintenant beaucoup plus clair que ce ne l'était! Je vous remercie beaucoup pour le temps accordé et j'espère pouvoir finir mon exercice d'ici.... 10 minutes!



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