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Démonstation
Bonjour,
Je suis en 1er ES, en spécialité mathématique.
Mais j'ai un exercice dont je ni arrive pas, il faut démontrer !
Voici de sujet:
On se propose de démontrer la propriété suivante :<< Soit (O;i;j;k) un repère orthonormé de l'espace, u et v sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'+zz'= O >>.
Notons M et M' les points tels que OM=u et OM'=v
1. Vérifier que : OM2 + OM'2 =x2+x'2+y2+y'2+z2+z'2
2. Calculer MM'2 puis vérifier que MM'2=OM2+OM'2-2(xx'+yy'+zz')
3. Conclure
(ps: le 2 signifie au carré, et u et v sont des vecteurs)
Je vous remercie.
bonjour,
1. OM.OM + OM'.OM' (somme de 2 carrés scalaires)
= OM² + OM'² (somme de 2 distances au carré)
= ((x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)²) + ((x' - 0)² + (y' - 0)² + (z' - 0)²)
= (x² + y² + z²) + (x'² + y'² + z'²)
= ...
...
Re : c'est du programme de 2°. Rappel :
distance entre A et B : 
((xA - xB)² + (yA - yB)² + (zA - zB)²)
Quelle est la distance MM' entre les points M et M' ?
Et le carré de cette distance MM'² ?
...
Pour calculer MM' il faut calculer MO+OM'(les vecteurs), mais quand on calcule MO et non MO, on doit changer quoi?
sachant que MM'=OM'-OM
MM'= (x'-x);(y'-y);(z'-z)
donc MM'2=(xM'-xm)+(yM'-ym)+(zm'-zm)
et après se serait MM'2=(x'-x)+(y'-y)+(z'-z)
ensuite MM'2= à quoi?
MM'² = (x - x')² + (y - y')² + (z - z')²
puis en développant :
= (x² + y² + z²) + (x'² + y'² + z'²) - 2 (xx' + yy' + zz')
...
Merci! s'est bon j'ai compris. Mais on peut conclure quoi?
de l'écriture précédente, on peut déduire que :
MM'²= OM² + OM'² - 2(xx'+yy'+zz')
or, en utilisant la relation de pythagore,
le triangle OMM' est rectangle,
ssi MM'² = OM² + OM'², et donc
ssi OM² + OM'² - 2(xx'+yy'+zz') = OM² + OM'²
ssi - 2(xx'+yy'+zz') = 0
ssi xx'+yy'+zz' = 0
...
conclusion:
si et seulement si xx'+yy'+zz'=o
Les vecteurs 
et
sont orthogonaux
merci beaucoup !
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