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Démonstration V( aX+b) probabilités
Bonjour,
Je dois faire une démonstration de probabilité en maths (niveau 1S), et j'aurais une question à vous poser. Je dois démontrer que la variance de aX+b = a^2 * V(X). Voici ce que j'ai déjà fait :
= P1 ( (ax1+b) - E (ax1+b))^2 + ... + Pn ((axn+b) - E (axn+b))^2
= P1 (a (x1+b) - a (E(x1 + b)))^2 + ... + Pn (a (xn+b) - a (E(xn + b)))^2
= P1 * a^2 * ((x1+b) - E(x1+b))^2 + ... + Pn * a^2 * ((xn+b) - E(xn+b))^2
= a^2 * P1 * (x1-E(X))^2 + a^2 * Pn * (xn-E(X))^2
= a^2 * V(X)
(l'avant dernière ligne n'est pas forcément utile)
Je ne comprends juste pas comment on a enlever le b, le premier truc qui me vient c'est de soustraire le b de (x1+b) et celui de E(x1+b) mais c'est E (x1+b) donc ce n'est pas la même chose donc ce n'est pas ça...
Du coup ou a t-on enlevé ces b ? :p
Merci d'avance pour votre aide !
Bonsoir,
V(X)=E(X²)-(E(X))².De plus E(aX)=aE(X) et E(X+y)=E(X)+E(Y) ainsi que E(b)=b
Il suffit d'appliquer ces formules...
J'ai eu la réponse grâce à un ami ^^ Voici ce qu'il a dit pour ceux que ça intéresse : "Intuitivement, la variance est indépendante de la moyenne. Je précise: si tu as une variance de v qui est centré en x, et que tu translates toutes tes points d'un même facteur ta variance va rester la même.
Tu travailles avec une propriété linéaire, la "moyenne", et donc E(ax + b) = aE(x) + b. Ici, observe que la moyenne de b, c'est ... b. Maintenant, observe: (x1+b) - E(x1+b), c'est égal à x1+b - E(x1) - E(b) => x1 - E(x1)"
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