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Démonstration du
théorème d'Al-Kashi
par le théorème de
Pythagore
Le théorème d'Al-Kashi étant
une généralisation du théorème
de Pythagore, utilisons les
relations trigonométriques pour
le démontrer…
Introduction
Le théorème d'Al-Kashi, aussi
appelé loi des cosinus ou
encore théorème de Pythagore
généralisé, relie dans un triangle
quelconque la longueur d'un
côté à celle des deux autres et au
cosinus de l'angle opposé : c² =
a² + b² - 2ab cosγ
(en utilisant les notations
usuelles dans un triangle
quelconque)
Avant de passer à la
démonstration, un petit rappel
des relations que nous pouvons
utiliser dans un triangle
rectangle :
c² = a² + b²         cosα = b/c
sinα = a/c         cos²α +
sin²α = 1
Passons à la démonstration !
Il y a deux cas possibles de
triangles pour réaliser la
démonstration : l'angle auquel
on s'intéresse est soit aigu, soit
obtus.
Cas d'un triangle à angles aigus
(acutangle)
Soit A' le pied de la hauteur
issue de A.
Le triangle AA'B est rectangle en
A'. D'après le théorème de
Pythagor

e, on a : AB² = AA'² +
A'B².
AA'/AC = sinγ d'où AA' = AC
sinγ
A'B = BC - A'C et A'C/AC = cosγ
d'où A'B = BC - AC cosγ
On a donc :
AB² = AA'² + A'B²
AB² = (AC sinγ)² + (BC - AC
cosγ)²
AB² = AC² sin²γ + BC² - 2*BC*AC
cosγ + AC² cos²γ
AB² = AC² (cos²γ + sin²γ) + BC² -
2*BC*AC cosγ
AB² = AC² + BC² - 2*BC*AC
cosγ
En utilisant la notation :
c² = a² + b² - 2ab cosγ
Cas d'un triangle à angle obtus
(obtusangle)
Soit A' le pied de la hauteur
issue de A.
Soit γ' l'angle ACA'
Le triangle AA'B est rectangle en
A'. D'après le théorème de
Pythagore, on a : AB² = AA'² +
A'B².
γ' = π - γ d'où cos(γ') = - cosγ
et sin(γ') = sinγ
AA'/AC = sin(γ') d'où AA' = AC
sin(γ') donc AA' = AC sinγ
A'B = BC + A'C et A'C/AC = cos
(γ')

d'où A'B = BC + AC cos(γ') donc
A'B = BC - AC cosγ
Le reste de la démonstration est
identique :
On a donc :
AB² = AA'² + A'B²
AB² = (AC sinγ)² + (BC - AC
cosγ)²
AB² = AC² sin²γ + BC² - 2*BC*AC
cosγ + AC² cos²γ
AB² = AC² (cos²γ + sin²γ) + BC² -
2*BC*AC cosγ
AB² = AC² + BC² - 2*BC*AC
cosγ
En utilisant la notation :
c² = a² + b² - 2ab cosγ
Bien sûr, il est possible de
démontrer cette relation pour les
deux autres côtés :
a² = b² + c² - 2bc cosα
b² = a² + c² - 2ac cosβ.
C'est tout ce que je sais!