C'est un nom ronflant pour pas grand chose ; il s'agit de suites qui sont de la forme u _{n + 1} = 3 u _n - 4 avec u ₀ = 2 par exemple
les questions qui se posent en général sont :
1. calculer u ₁, u ₂, u ₃
2. On pose v _n = u _n - 2
montrer que la suite (v _n) est géométrique de raison 3
3.Exprimer v _n en fonction de n
4.Exprimer u _n en fonction de n
Après tu changes les chiffres mais tout se ramène à cela.

On peut aussi demander d'exprimer v ₀ + v ₁ + ... + v _n en fonction de n
En déduire u ₀ + u ₁ + ... + u _n en fonction de n.
Si tu ne t'en sors pas, envoie moi un message et je t'enverrai la correction

Il n'y a pas de "démonstration" qu'une suite soit arithmético-géométrique, on le "voit" grâce à la formule de récurrence qui est caractéristique :
U_n+1 = a U_n + b

A noter que si b = 0 , la suite est géométrique de raison a, et si a =1, la suite est arithmétique de raison b

après peut être que ce qui intéresse c'est de trouver l'expression de Un en fonction uniquement de n et de U0

Pour ça je suppose que nous ne sommes pas dans le cas trivial évoqué plus haut
On cherche un point fixe de cette récurrence, c'est à dire on cherche une suite constante qui vérifie l'équation
Un+1 = Un = x
on a x = ax+b d'où x = b/(1-a) (a est différent de 1 cf plus haut)

Ensuite on étudie la suite Vn définie par Vn = Un - x (toujours x = b/(1-a))

En calculant V(n+1) on a V(n+1) = U(n+1) -b/(1-a) = a Un + b - b/(1-a) = aUn + (b -ab +b)/1-a = a (Un - x) = a Vn
Donc Vn est géométrique de raison a
On connaît ensuite l'expression de Vn en fonction de n et de V0 donc en fonction de n et U0

Enfin on en déduit l'expression de Un en disant que Un = Vn + r

Bref il s'agit ici d'une démonstration générale, ce que l'on te demandera surement pas au lycée,
Généralement les problèmes sont de la forme U(n+1) = 4 Un + 2 avec U0 = 1 et on te guide pour retrouver l'expression de Un en fonction de n, ce qui refait la démonstration dans le cas général mais de manière guidée.