Niveau BTS

Démonstration de fonction cos/sin

Posté par
dredd 14-10-10 à 16:38

Bonjour a tous

Je viens poster ici, car après plusieurs heures de recherche je coince pour démontrer une équation.

Alors j'ai :
f(t) = cos(t) - sin(t)
g(t) = cos(t) + sin(t)

On me demande de calculer les dérivées et de montrer que :

f'(t) = -2 cos(t-/4)
g'(t) = 2 cos(t+/4)

je calcule donc les dérivées :

f'(t) = -sin(t) - cos(t)
g'(t) = -sin(t) + cos(t)

je doit donc démontrer que :

f'(t) = -sin(t) - cos(t) =  -2 cos(t-/4)
g'(t) = -sin(t) + cos(t) = 2 cos(t+/4)

j'ai réussi a le montrer en partant de ce que je dois trouver :

f'(t) = -2 cos(t-/4)
      = -2 ( cos(t)*cos(-pi/4) - sin(t)*sin(-pi/4))
      = -2 ( cos(t)*((2)/2) + sin(t)*((2)/2))
      = (-2)*((2)/2) (cos(t)+sin(t))
      = - (cos(t)+sin(t))

      = - cos(t) - sin(t)

g'(t) = 2 cos(t+/4)
      = 2 ( cos(t)*cos(pi/4) + sin(t)*sin(pi/4))
      = 2 ( cos(t)*((2)/2) - sin(t)*((2)/2))
      = (2)*((2)/2) (cos(t)- sin(t))

      = cos(t)- sin(t)

Je suis donc arrivé à le démontrer de cette facon mais j'aimerais savoir comment faire pour le démontrer en partant des deux dérivées que j'ai calculé c'est a dire :

f'(t) = -sin(t) - cos(t)
g'(t) = -sin(t) + cos(t)

Voila
Merci d'avance pour votre aide

Dredd

Posté par re : Démonstration de fonction cos/sin 14-10-10 à 17:13

Bonjour
Utilise sin(x)=cos(/2-x) et cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

Posté par re : Démonstration de fonction cos/sin 14-10-10 à 17:20

Bonjour Dredd,

La méthode est bonne, à condition de ne pas démarrer la démonstration en écrivant " f'(t) = " , mais de la finir en écrivant " = f'(t) ".
Il y a en outre des erreurs de signes dans tes développements.

Posté par Démonstration de fonction cos/sin 14-10-10 à 17:50

bonjour je vais te proposer une autre methode :

prenons f(t)= cos(t) - sin(t)

        f'(t)= -sin(t) -cos(t) = -(sin(t)+cos(t))

multiplions les 2 membres de  l'egalite par $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ce qui donne       $\frac{\sqrt{2}}{2}$ f'(t)=-( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sint+ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cos(t))

ce qui donne := -[(sin(t)sin $\frac{\pi}{4}$ +cos(t)cos $\frac{\pi}{4}$ ]

d'ou   $\frac{\sqrt{2}}{2}$ f'(t)= -cos(t- $\frac{\pi}{4})$

et apres renvoi de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le second membre  on obtient :

    f'(t) = - $\sqrt{2}$ cos(t- $\frac{\pi}{4})$

pour la suite tu fais pareil avec g(t) et g'(t)

A plus

Posté par re : Démonstration de fonction cos/sin 17-10-10 à 01:04

merci à tous pour vos réponses, j'ai réussi en utilisant la méthode de rene mais j'aime bien ta démonstration paula je m'en resservirai

Cordialement
Dredd

Posté par re : Démonstration de fonction cos/sin 17-10-10 à 01:05

paulo désolé :p