Bonjour,
J'aimerais avoir un peu d'aide à propos d'une dérivée que je n'arrive pas à trouver.
Je cherchais la dérivée de f(x)=x √x, ce à quoi j'ai trouvé 3 √x/2 en utilisant les formules classiques de dérivation. Mais, j'ai voulu essayer de trouver la dérivée en utilisant le taux d'accroissement.
Ainsi, j'ai posé ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h. En utilisant l'expression conjuguée et en simplifiant, je trouve ((a+h)^3 - a^3)/(h*((a+h)^1,5 + a^1,5)). Je n'arrive pas à trouver autre chose qu'une forme indéterminée.
Pourriez-vous m'aider en me guidant sur une simplification que je n'ai pas vu et qui me permettrais à aboutir à la dérivée attendue de 3√x/2.
Je vous remercie par avance.
Je vous remercie ! C'était tout simple en fait...
J'ai développé (a+h)^3. Ainsi, je suis arrivé à (3a²+3ah+h²)/((a+h)^1,5 + a^1,5)). Puis, en faisant tendre h vers 0, j'ai obtenu 3a²/2a^1,5, que j'ai simplifié en 3√a/2.
Cependant, il y a peut-être une manière plus élégante et moins longue de faire tout ça ?
il n'y en a que deux :
- application de la définition et développement/simplification avant de faire tendre h vers 0
- application des formules de dérivées connues (uv)' = ...
"plus élégante et moins longue", c'est celle là.
Oui bien sûr, je voulais dire une manière moins longue de simplifier ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h... Mais sinon, je suis bien d'accord qu'utiliser les formules est beaucoup plus pratique.
pour simplifier ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h le plus direct est comme tu as fait :
quantité conjuguée
développement de (a+h)3
(évidement si on sait que (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, c'est instantané)
simplification
ou tant qu'à faire :
la formule (xn)' = nxn-1 s'applique pour tout n rationnel = p/q = ici 3/2
(attention au domaine de définition tout de même)
démonstration idem ce que vient de dire carpediem)
voire même (un)' = n u' un-1 pour tout n de
Merci pour vos réponses.
Je ne comprends pas très bien la deuxième ligne de votre démonstration, Carpediem. Je ne vois pas comment trouver 2h(x)*h'(x) autrement qu'en faisant 2h(x)*h'(x) = 2x√x * 3√x/2 = 3x^2 (dans ce cas, on utilise 3√x/2 alors que c'est ce qu'on cherche). Je me doute que c'est le h^2(x) qui permet d'obtenir 3x^2 mais je ne vois pas comment...
Mathafou, joli d'utiliser (x^n)' ! J'y penserai à l'avenir au lieu d'utiliser 1/2√x dès que j'ai une racine carré.
carpediem utilise la même formule :
la dérivée de un, ou u est une fonction de x, est nu' un-1
ici la fonction u s'appelle h
et il a dérivé des deux cotés de l'égalité
si u = v
alors u' = v'
laivirtorez :
ce qui est connu c'est :
h(x)
la dérivée élémentaire de la fonction cube
la dérivée de la fonction un ... qui fait apparaitre u'
et on cherche justement u' !!!
Ah d'accord, merci ! Je n'avais pas assimilé h(x) à u.
Du coup, je me suis amusé à le faire sans la dérivée de la fonction cube :
Un peu plus long mais ouf le même résultat !
Merci pour toutes vos réponse mathafou et carpediem !
ben alors tu n'as pas compris le principe !!! qui est de ne pas dériver des puissances décimales !!
et le fondamental est justement de connaitre la dérivée d'une puissance entière ... en l'occurrence x^3 !!!
Oui, c'est vrai que je triche un peu en faisant . Je voulais juste tester malgré le fait que ça soit un peu stupide.
en fait tu cherchais à généraliser à "par convention"
soit en posant
(que des exposants entiers) et en dérivant des deux côtés
(que des exposants entiers)
et donc etc
J'ai direct remplacé par . Mais en effet, c'est plus cool de généraliser !
D'ailleurs, pourquoi les exposants doivent être entiers et pas juste dans ℝ ? J'ai testé avec ma calculatrice pour et et je trouve la bonne dérivée à chaque fois.
oups pas fait exprès désolé, je voulais réécrire quelque chose :
Ducoup, on aurait pour alors avec p et q, deux réels.
donc tu n'as toujours pas compris le msg !!
ok ok désolé de faire des fautes grossières.
Si je comprends bien, il faudrait démontrer la formule autrement qu'avec l'exponentielle pour la généraliser à des puissances dans R.
Désolé de revenir sur le sujet mais après réflexion sur ce que vous m'avez dit carpediem, j'aimerai savoir comment feriez-vous pour dériver une fonction telle que :
Merci par avance.
je passerai par l'exponentielle ... pas d'autre moyen d'ailleurs je pense ...
ce qu'il faut remarquer dans les cas précédents c'est d'avoir une puissance qui est une fraction (quotient de deux entiers)
si alors
et là on peut appliquer la formule [un]' avec n entier ...
c'est ce que dit mathafou à 12h29 appliqué au cas particulier g(x) = x
D'accord, je vous remercie.
Par ailleurs, ne serait-ce pas plutôt :
"si g(x) = [f(x)]^{p/q} alors [f(x)]^p = [g(x)]^q" ?
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