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démonstration dérivée x √x

Posté par
laivirtorez
27-05-22 à 01:48

Bonjour,
J'aimerais avoir un peu d'aide à propos d'une dérivée que je n'arrive pas à trouver.
Je cherchais la dérivée de f(x)=x √x, ce à quoi j'ai trouvé  3 √x/2 en utilisant les formules classiques de dérivation. Mais, j'ai voulu essayer de trouver la dérivée en utilisant le taux d'accroissement.
Ainsi, j'ai posé ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h. En utilisant l'expression conjuguée et en simplifiant, je trouve ((a+h)^3 - a^3)/(h*((a+h)^1,5 + a^1,5)). Je n'arrive pas à trouver autre chose qu'une forme indéterminée.
Pourriez-vous m'aider en me guidant sur une simplification que je n'ai pas vu et qui me permettrais à aboutir à la dérivée attendue de 3√x/2.
Je vous remercie par avance.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 07:31

Bonjour,

X^3 - Y^3 se factorise par X - Y

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 07:40

PS : ou développer (a+h)^3 d'ailleurs...

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 12:43

Je vous remercie ! C'était tout simple en fait...
J'ai développé (a+h)^3. Ainsi, je suis arrivé à  (3a²+3ah+h²)/((a+h)^1,5 + a^1,5)). Puis, en faisant tendre h vers 0, j'ai obtenu 3a²/2a^1,5, que j'ai simplifié en 3√a/2.
Cependant, il y a peut-être une manière plus élégante et moins longue de faire tout ça ?  

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 12:48

il n'y en a que deux :
- application de la définition et développement/simplification avant de faire tendre h vers 0

- application des formules de dérivées connues (uv)' = ...
      "plus élégante et moins longue", c'est celle là.

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 12:54

Oui bien sûr, je voulais dire une manière moins longue de simplifier ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h... Mais sinon, je suis bien d'accord qu'utiliser les formules est beaucoup plus pratique.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 13:24

pour simplifier ((a+h) (√a+h ) - a √a)/h le plus direct est comme tu as fait :
quantité conjuguée
développement de (a+h)3
(évidement si on sait que (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, c'est instantané)
simplification

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 13:37

D'accord, je vous remercie d'avoir pris le temps de me répondre !
Bonne continuation à vous.

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 13:45

salut

il existe une troisième méthode très efficace pour dériver h(x) = x \sqrt x

h^2(x) = x^3
 \\ 2h(x)h'(x) = 3x^2
 \\ h'(x) = ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 14:12

ou tant qu'à faire :
la formule (xn)' = nxn-1 s'applique pour tout n rationnel = p/q = ici 3/2
(attention au domaine de définition tout de même)
démonstration idem ce que vient de dire carpediem)

voire même (un)' = n u' un-1 pour tout n de \Q

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 16:24

Merci pour vos réponses.

Je ne comprends pas très bien la deuxième ligne de votre démonstration, Carpediem. Je ne vois pas comment trouver 2h(x)*h'(x) autrement qu'en faisant 2h(x)*h'(x) = 2x√x * 3√x/2 = 3x^2 (dans ce cas, on utilise 3√x/2 alors que c'est ce qu'on cherche). Je me doute que c'est le h^2(x) qui permet d'obtenir 3x^2 mais je ne vois pas comment...

Mathafou, joli d'utiliser (x^n)' ! J'y penserai à l'avenir au lieu d'utiliser 1/2√x dès que j'ai une racine carré.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 16:39

carpediem utilise la même formule :
la dérivée de un, ou u est une fonction de x, est nu' un-1
ici la fonction u s'appelle h

et il a dérivé des deux cotés de l'égalité
si u = v
alors u' = v'

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 27-05-22 à 17:32

laivirtorez :

ce qui est connu c'est :
h(x)
la dérivée élémentaire de la fonction cube
la dérivée de la fonction un ... qui fait apparaitre u'

et on cherche justement u' !!!

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 00:24

Ah d'accord, merci ! Je n'avais pas assimilé h(x) à u.

Du coup, je me suis amusé à le faire sans la dérivée de la fonction cube :

\large (h^{n}(x))' = nh^{n-1}(x)h'(x) \\\\h'(x) = \frac{(x\sqrt{x}^{n})'}{nx\sqrt{x}^{n-1}} \\\\h'(x) = \frac{1,5nx^{1,5n-1}}{nx^{1,5n-1,5}} \\\\h'(x) = 1,5x^{1,5n-1-1,5n+1,5} \\\\h'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2}

Un peu plus long mais ouf le même résultat !

Merci pour toutes vos réponse mathafou et carpediem !

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 11:56

ben alors tu n'as pas compris le principe !!! qui est de ne pas dériver des puissances décimales !!

et le fondamental est justement de connaitre la dérivée d'une puissance entière ... en l'occurrence x^3 !!!

carpediem @ 27-05-2022 à 13:45


h^2(x) = x^3
 \\ 2h(x)h'(x) = 3x^2
 \\ h'(x) = \red \dfrac {3x^2} {2h(x)} = \dfrac {3x^2} {2x\sqrt x} = ...

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 12:12

Oui, c'est vrai que je triche un peu en faisant (x\sqrt{x}^{n})'. Je voulais juste tester malgré le fait que ça soit un peu stupide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 12:29

en fait tu cherchais à généraliser à \sqrt[q]{x^p} = x^{p/q} "par convention"

soit en posant h(x)= \sqrt[q]{x^p}
h(x)^q = x^p (que des exposants entiers) et en dérivant des deux côtés
q * h(x)^{q-1} h'(x) = p*x^{p-1) (que des exposants entiers)
et donc h'(x) = \dfrac{p}{q} \dfrac{x^{p-1}}{h(x)^{q-1}} etc

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 13:22

J'ai direct remplacé h(x) par x\sqrt{x}. Mais en effet, c'est plus cool de généraliser !
D'ailleurs, pourquoi les exposants doivent être entiers et pas juste dans ℝ ? J'ai testé avec ma calculatrice pour p = \pi et q = \sqrt{2} et je trouve la bonne dérivée à chaque fois.

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 13:27

laivirtorez @ 28-05-2022 à 13:22

J'ai direct remplacé h(x) par x\sqrt{x}. Mais en effet, c'est plus cool de généraliser !
D'ailleurs, pourquoi les exposants doivent être entiers et pas juste dans ℝ ? J'ai testé avec ma calculatrice pour p = \pi et q = \sqrt{2} et je trouve la bonne dérivée à chaque fois.

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 13:33

oups pas fait exprès désolé, je voulais réécrire quelque chose :

Ducoup, on aurait pour  h(x) = \sqrt[q]{p}  alors  h'(x) = \frac{p}{q}\sqrt[q]{x^{p-q}} avec p et q, deux réels.

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 13:54

donc tu n'as toujours pas compris le msg !!

carpediem @ 28-05-2022 à 11:56

ben alors tu n'as pas compris le principe !!! qui est de ne pas dériver des puissances décimales !!

et le fondamental est justement de connaitre la dérivée d'une puissance entière ... en l'occurrence x^3 !!!

ce qui ne veut pas dire que la formule avec des puissances entières ne marche pas avec des puissances quelconques ...

seulement elle est prouvée à partir de la fonction exp puisque x^r = e^{r \ln x mais évidemment pour x > 0

et le cas des puissances rationnelles est particulier puisqu'on peut toujours revenir à des puissances entières ... encore qu'il faille faire attention à la parité des entiers dans le cas où on veuille travailler sur R ...

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 28-05-22 à 16:01

ok ok désolé de faire des fautes grossières.

Si je comprends bien, il faudrait démontrer la formule autrement qu'avec l'exponentielle pour la généraliser à des puissances dans R.

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 29-05-22 à 19:04

Désolé de revenir sur le sujet mais après réflexion sur ce que vous m'avez dit carpediem, j'aimerai savoir comment feriez-vous pour dériver une fonction telle que :

f(x) = \sqrt[-\pi ]{(4x^{3} + 2x^{2} + 3x)^{\sqrt{2}}}

Merci par avance.

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 29-05-22 à 19:40

je passerai par l'exponentielle ... pas d'autre moyen d'ailleurs je pense ...

ce qu'il faut remarquer dans les cas précédents c'est d'avoir une puissance qui est une fraction (quotient de deux entiers)

si  g(x) = [f(x)]^{p/q}  alors  [f(x)]^q = [g(x)]^p

et là on peut appliquer la formule [un]' avec n entier ...

c'est ce que dit mathafou à 12h29 appliqué au cas particulier g(x) = x

Posté par
laivirtorez
re : démonstration dérivée x √x 29-05-22 à 20:03

D'accord, je vous remercie.

Par ailleurs, ne serait-ce pas plutôt :

"si  g(x) = [f(x)]^{p/q}  alors  [f(x)]^p = [g(x)]^q" ?

Posté par
carpediem
re : démonstration dérivée x √x 29-05-22 à 20:44

oui ...



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