Niveau première

Démonstration nbr de Fermat

Posté par
yeeeeeeee 27-03-24 à 20:36

Bonjour à tous !

Je cherche à démontrer que, si $2^n+1$ est premier alors $n$ est une puissance de 2. Voici ma démonstration qui ne convient pas au niveau de la factorisation, cependant je ne comprends pas pourquoi :

Supposons que k n'est pas une puissance de 2. Alors il existe nécessairement deux entiers $\alpha_1$
et $\alpha_2$ , tous deux non nuls et différents de 1, avec $\alpha_1$ impair. En effet, si celui-ci était pair, le produit $\alpha_1 \alpha_2$ serait pair ce qui contredit notre hypothèse de départ. Nous avons donc
$k=\alpha_1 \alpha_2$
D'où
$\\ 2^k+1=2^{\alpha_1 \alpha_2 }+1=(2^{\alpha_2})^{\alpha_1}-(-1) \\$
Remarquons que l'expression est de la forme $\displaystyle a^n-b^n=(a-b)\sum^{n-1}_{i=0}a^nb^{n-1-i}$ avec $a=2^{\alpha_2}, b=-1, n=\alpha_1$ , soit
$2^k+1=(2^{\alpha_2}+1)\bigg(\sum_{i=0}^{\alpha_1-1}(-2^{\alpha_2})^i\bigg)$
Vérifions maintenant que les deux facteurs sont différents de 1 car, le cas échéant, 2^k+1 serait premier.
D'une part, l'équation $2^{\alpha_2}+1=1$ n'admet aucune solution
D'autre part, $\displaystyle \sum_{i=0}^{\alpha_1-1}(-2^{\alpha_2})^i=1$ impliquerait $\alpha_1-1=0\iff \alpha_1=1$ , ce qui est une contradiction puisque $\alpha_1$ est supposé être impair et différent de 1.
Nous avons ainsi prouvé, par contraposition, que 2k + 1 est un nombre premier si et seulement si k est une puissance de deux.

Posté par re : Démonstration nbr de Fermat 27-03-24 à 20:58

salut

il me semble qu'il y a un pb (de parité) : ce n'est pas parce qu'un nombre est pair que c'est une puissance de 2

et pourquoi passer de n à k ? (et de même ces a et b sont inutiles)

c'est dans ta façon de rédiger (éventuellement) que ça ne va pas :

supposons que n possède un facteur impair p et posons n = pq (et p et q différent de 1)

$2^n + 1 = 2^{pq} + 1 = (2^q)^p + 1^p = (2^q + 1) \sum_0^{p - 1} (2^q)^k (-1)^{p - 1 - k}$

car $a^n + b^n$ se factorise lorsque n est impair

q 1 donc le premier facteur n'est pas 1, ok

je ne comprends pas ce que tu fais avec le deuxième facteur et comment tu passes à ce qui suit le "soit" en latex ...

Posté par re : Démonstration nbr de Fermat 27-03-24 à 21:09

Merci de votre réponse, pour conclure la démonstration il suffit donc de démontrer que le 2e facteur n'est pas 1, cas qui n'arriverait que si p-1=0 soit p=1 qui n'est pas possible par hypothèse ?

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