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démonstration sommet d'une parabole

Posté par
K13
12-08-17 à 21:40

Bonjour,

actuellement je reprends des cours sur le second degré, et j'essaye de  comprendre les démonstrations et les propriétés qui en découlent mais je bloque sur l'unes d'entre elles:  S(alpha; béta).
Est ce possible de démontrer par le calcul que alpha et béta sont les coordonnées du sommet d'une parabole ou bien cela a t il été trouvé par recherche graphique ?

Merci, bonne soirée !

Posté par
bbjhakan
re : démonstration sommet d'une parabole 12-08-17 à 22:01

bonjour

si f(x)=ax^2+bx+c alors f'(x)=2ax+b est une fonction affine donc
f'(x)=0~\Leftrightarrow~2ax+b=0~\Leftrightarrow~x=-\dfrac{b}{2a}=\alpha~\text{est bien l'abscisse du sommet et}~
 \\ \beta=f(\alpha)

Posté par
fm_31
re : démonstration sommet d'une parabole 12-08-17 à 22:11

Bonjour ,

en partant de la forme canonique   f(x) = a (x-)² +
si x=  alors  f(x) =   point double qui ne peut être que le sommet de la parabole .

Cordialement

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 12-08-17 à 23:24

bbjhakan : merci pour cette explication !

fm_31 : merci à vous aussi, seulement je ne comprends pas ce que vous entendez par "point double". J'ai bien compris pourquoi béta est l'image de alpha, mais contrairement à l'explication via la dérivée, je ne vois pas comment on en conclut que ce sont les coordonnées du sommet...

Merci

Posté par
fm_31
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 09:27

L'équation du second degré a  zéro ,  une ou  deux racines . Quand elle a une seule racine , on dit que c'est un point double  et ce ne peut-être que le sommet .

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 14:23

Bonjour,

Desolé mais je ne trouve le lien entre ma question, ou l'on part d'un polynôme degré 2 peu importe le signe du delta, avec ce raisonnement ou vous parlez d'un cas où il n'y a qu'une racine, donc delta égal à 0.

Cordialement,
Merci

Posté par
cocolaricotte
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 14:34

Bonjour,

A toi de faire la démonstration qu'avec f(x) = a (x-)² +

si a > 0 alors pour tout x dans IR , alors f(x) f()    sachant que f() vaut quoi ?

si a < 0 alors pour tout x dans IR , alors f(x) f()    sachant que f() vaut quoi ?

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 15:11

cocolaricotte/ : Bonjour ,

En testant x= α, on a:
f(x) - f(α) = a(x-α)² + β - β
<=> a(x-α)², ce qui est supérieur à 0 pour a >0, alors f(x) > f(α) donc f atteint son minimum en α et S(α; f(α) = β), et inversement si a < 0, f atteint son maximum en α ....

Est ce bien ça ?

Merci

Posté par
malou Moderateur
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 16:02

K13 @ 13-08-2017 à 15:11

cocolaricotte/ : Bonjour ,

En testant x= α, on a:
f(x) - f(α) = a(x-α)² + β - β
= a(x-α)², ce qui est supérieur ou égal à 0 pour a >0, alors f(x) f(α) donc f atteint son minimum en α et S(α; f(α) = β), et inversement si a < 0, f atteint son maximum en α ....

Est ce bien ça ?

Merci


oui, c'est ça, avec les corrections que j'ai faites

Posté par
cocolaricotte
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 16:06

Je ne comprends pas le début

Citation :
En testant x= α,


si  x= α, alors  on a : f(x) - f(α) = f(α) - f(α) = 0

Posté par
cocolaricotte
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 16:37

Ce ne serait pas plutôt pour tout réel x quelconque

f(x) - f(α) = a(x-α)² + β  =  a(x-α)²

Et là on peut conclure correctement

si a > 0 , alors la fonction f admet quoi ? où ?

si a < 0 , alors la fonction f admet quoi ? où ?

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 19:06

Oui, peut-être même, pour tout réel x différent de alpha

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 19:11

malou: Je vois merci !

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 19:17

Désolé d'ajouter une question, mais comment peut-on être certains que, par exemple lorsque l'on a prouvé que dans le cas ou x est différent de alpha et a > 0, on a f(x) > f(α), α est le minimum de f et pas simplement une valeur qui minore f ?


Merci d'avance

Posté par
malou Moderateur
re : démonstration sommet d'une parabole 13-08-17 à 19:59

ben...la valeur est atteinte pour x=, non ?

Posté par
K13
re : démonstration sommet d'une parabole 16-08-17 à 12:47

malou: Certes... merci

Posté par
malou Moderateur
re : démonstration sommet d'une parabole 16-08-17 à 13:15

de rien, bonne continuation à toi !

Posté par
carpediem
re : démonstration sommet d'une parabole 17-08-17 à 14:03

salut

calcul de collège tout en connaissant bien les identités remarquables et sachant jongler avec les nombres :

1/ tout nombre est le double de sa moitié

2/ tout nombre positif est le carré de sa racine carrée

f(x) = ax^2 + bx + c = a(x^2 + \dfrac b a x + \dfrac c a) = a(x^2 + 2 \dfrac b {2a} x +\dfrac {b^2} {4a^2} - \dfrac {b^2} {4a^2} + \dfrac c a ) = ...

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