Bonjour,
Je sollicite votre aide pour un DM :
1) a-Existe-t-il un polynome constant de sorte que     P(x+1) - P(x) = x (pour tout x) ?
   b-Existe-t-il un polynome du premier degré tel que   'idem'
   c-Existe-t-il un polynome du second degré tel que    'idem'

2) Soit Q le polynome trouvé en 1) ; prouver l'égalité :
   1+2+3+......+n = Q(n+1) - Q(1)
   Déduire 1+2+3+.....+n = n(n+1) / 2

3) Déterminer le polynome R tel que pour tout réel x, R(x+1) - R(x) = x²
   En déduire 1² + 2² + 3² +......+ n² = R(n+1) - R(1)
   puis       1² + 2² + 3² +......+ n² = n(n+1)(2n+1) / 6.

Pour le 1) a et b, je pense que la réponse est non :
a- P(x) polynome constant donc P(x) = P(x+1), P(x+1) - P(x) = 0, donc # x
b- P(x) de la forme ax + b, donc P(x+1) - P(x) = a(x+1) + b - ax -b,
   d'où P(x+1) - P(x) = a, donc # x
c- Je pense que la réponse est oui
   P(x) = ax² +bx +c polynome du 2nd degré
   si P(x+1) - P(x) = x => P(x+1) - x = P(x)
   donc P(x) = P(x+1) - x
        P(x) = a(x+1)² + b(x+1) +c - x
             = ax² + (2a + b - 1)x + a + b + c
Pour le 2) je dirais donc que Q(x) = ax² + (2a + b - 1)x + a + b + c

Mais je ne sais pas si cette démarche est la bonne et ensuite je patine ; pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance