Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Démontration de la dérivée x puissance n
Bonjour, je cherche à démontrer que la dérivée de x puissance n, c'est . j'ai fait:
Et là, il y a comme un problème pour développer le premier therme. je ne peux pas distribuer. Comment faire? Merci pour vos réponses
- Initialisation : On démontre facilement que si f(x) = x alors f '(x) = 1, donc f '(x) = 1x1-1.
La formule est donc vraie pour n=1
- Hérédité : hypothèse de récurrence (xn)' = nxn-1
or xn+1 = xn.x
en utilisant (uv)' = u'v+uv', on obtient (xn+1)' = (nxn-1).(x)+(xn).(1) = (n+1)xn
Elle est donc héréditaire
- Conclusion : la formule est vraie quel que soit n
Mais tout dépend des "prérequis", c'est-à-dire de ce que tu as le droit d'utiliser...
C'est assez clair que le terme d'ordre x^n va etre 1, que le terme d'ordre x^(n-1) va etre n et que le terme constant va etre 1, donc on peut s'en sortir si on ne connait pas le binôme de Newton.
dès lors que la propriété est vraie à tout rang 
1,
elle est vraie pour n, n-1, n+1, etc ..
et donc dérivée de fn : n f' fn-1
et donc dérivée de fn-1 : (n-1) f' fn-2
et donc dérivée de fn+1 : (n+1) f' fn
etc...
la démonstration de l'hérédité d'une propriété peut donc se faire
à n'importe quel rang dans une démonstration par récurrence.
...
Bonjour otto
Déjà que le raisonnement par récurrence n'est plus officiellement au programme de première, le binôme de Newton est du grand luxe 
Ne vous inquiettez as, j'ai fais de la recurence en atelier Maths pour les mecs beton comme moi ^^. Depuis que j'ai touché au espace vectoriel, j'ai plus peur^^
Pour résumer, si je démontrer que P est vrai pour n+1. Alors elle vrai pour n-1, n+1, et n tout court? Littleguy, si je pige bien, à pris n au rang n+1, qu'est ce qui lui prouve qu'il en sais pas tromper? que (n+1)x^n = nx^n-1?
Je précise :
si l'on établit que P est vrai au rang 1, que l'on suppose que P est vrai
au rang n, et que l'on démontre que P est vrai au rang n+1
c'est équivalent à :
établir que P est vrai au rang 1, supposer que P est vrai
au rang n-1, et démontrer que P est vrai au rang n.
...
>> litleguy. Je suis désolé. J'ai l'impression d'avoir introduit
le doute dans l'esprit de boblatouffe. Ce qui n'était pas le but
de ma réponse première.
...
> boblatouffe
On est plusieurs sur le coup. Peut-être que ça t'embrouille. Je vais me retirer ; juste avant de partir je détaille ma démarche :
- j'ai montré (enfin pas tout à fait, j'ai dit que c'était facile à faire) que la propriété était vraie pou n=1
- j'ai montré que si elle l'était à un rang quelconque (en l'occurrence je l'ai appelé n), alors elle l'était au rang suivant (donc ici n+1)
- j'en ai déduit qu'elle était varie pour tout n non nul.
Donc si je pige bien 
n+1)x^n = nx^n-1 est vraie, pour tout n.
Maintenant, je mets que (n+1)x^n = nx^n-1 égal ça: (n-1)x^n
Est ce que c'est bon?
Parce que, si je fais la dérivée de x^4, on sais tous que sais 4x^3
Si j'utilise (1+n)x^n, j'obtiens donc, (1+4)x^4, autrement dit 5x^4. c'est ça qui me chagrine dedans
Je ne comprends pas ce que tu écris.
(n + 1) xn est la dérivée de xn+1
n xn-1 est la dérivée de xn
d'où sort cette égalité : (n + 1) xn = n xn-1
Ce n'est pas parce que je dis qu'il est équivalent de faire une
récurrence au rang n ou au rang n-1, que les expressions sont égales
au rang n et n-1.
...
Ok, maintenant je comprends bien, je pensais que les deux expressions étaient égales. merci pour tout
Euh, je reviens:
Pour l'hérédité, j'ai fais xn-1^=x^n/x
(x^n/x)'= ((nx^n-1)-x^n)/x^2
= n-1(x^n)/x^2
Je ne retrouve pas l'égalité nx^n-1
Je reprends la démo de littleguy, mais au rang n-1 :
- Hérédité : hypothèse de récurrence (xn-1)' = (n-1)xn-2
or xn = xn-1.x
en utilisant (uv)' = u'v+uv', on obtient (xn)' = (n-1)xn-2.(x)+(xn-1).(1) = (n-1)xn-1 + xn-1 = n.xn-1
Convaincu, cette fois ?
...
Ah oui, ok, j'ai utilisé trop compliqué. Merci beaucoup d'eztre revenu, la j'ai vraiement compris.. Ah bientot
Annuler
connectez vous