Zut je n'avais pas vu les "commentaires" du prof en commençant et j'ai démontré par une autre voie, tant pis.
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Démonstration par récurrence.

Supposons que la proposition (1+x)^n >= 1 + nx soit vraie pour une certaine valeur k de n.
On a alors:
(1+x)^k >= 1 + kx

(1+x) étant > 0 (puisque x >= 0), on peut multiplier les 2 membres de l'inéquation par (1+x) sans chenger le sens de l'inéquation ->

(1+x).(1+x)^k >= (1+x).(1 + kx)
(1+x)^(k+1) >= 1 + kx + x + kx²
(1+x)^(k+1) >= 1 + (k+1)x + kx²

Et comme kx² >= 0, on a a fortiori:
(1+x)^(k+1) >= 1 + (k+1)x
Qui est proposition (1+x)^n >= 1 + nx dans laquelle n est égal à k+1.
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On vient donc de montre que:
Si la proposition (1+x)^n >= 1 + nx soit vraie pour une certaine valeur k de n, elle est encore vraie pour n = k+1   (1)

Pour n = 1, la prposition (1+x)^n >= 1 + nx est vraie.
en effet: (1+x)^1 >=? 1 + x
1 + x >=? 1 + x   -> c'est vrai.
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La proposition (1+x)^n >= 1 + nx est vraie pour n = 1, par (1), elle est donc vraie pour n = 2.
La proposition (1+x)^n >= 1 + nx est vraie pour n = 2, par (1), elle est donc vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, la proposition (1+x)^n >= 1 + nx est vraie pour tout n de N*
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Sauf distraction.  

oki, merci beaucoup mais comment on fait avec la méthode du prof car nous avons pas encore vu ce qu'était la démonstration par récurence. merci

Considérons la fonction:
et étudions ses variations. (rq: tu veux montrer que cette fonction est tjs positive).


IOr, pour et pour tout x réel positif, (1+x)^n-1>1
Donc: pour : .
Donc f est croissante sur tout R+.

Et f(0)=0.
Donc, pour tout réel x > 0, f(x) > f(0)=0
Donc, f est strictement positive sur R=.

ce qui montre que:
pour , (1+x)ⁿ 1+nx