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Démontrer limite d'une suite pour tout n

Posté par
alexhdmt
03-05-23 à 16:39

Bonjour,
"Des glaciologues étudient les variations du niveau de la mer depuis la fin de la dernière ère glacière (environ -13000 ans).
n milliers d'années après cette date, ils notent un la variation (en m) du niveau de la mer et posent:
un= \frac{280}{2+68*0.6^{n}}-4 (avec n ).
1.a) Démontrer que la suite u est croissante.
b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, un136."

J'ai réussi la question a mais je bloque sur la b, d'habitude je dois
conjecturer une limite mais là il s'agit d'une démonstration et je ne sais pas comment m'y prendre.
Je sais que:
u0=0 et u est croissante
J'ai posé l'équation un137
et j'ai obtenu -2/5880.6^n (j'ai écrit que cette équation est impossible car 0.6n0
et j'ai ensuite posé l'équation un136 et j'ai obtenu:
09520*0.6n
Je n'ai pas l'impression de bien m'y prendre pour résoudre cette question, pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup pour votre aide!

Posté par
larrech
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 03-05-23 à 17:37

Bonjour,

\dfrac{280}{2+68*0.6^{n}}-4\leq136   équivaut à    \dfrac{280}{2+68*0.6^{n}}\leq140

Commence par mettre 2 en facteur au dénominateur, puis "simplifie", etc.

Posté par
alexhdmt
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 04-05-23 à 08:10

En simplifiant c'est ça que je dois obtenir? :
\frac{140}{1+34*0.6^{n}}\leq 140

140\leq 140+4760*0.6^{n}

0\leq 0.6^{n}

Posté par
larrech
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 04-05-23 à 08:54

On ne change pas le sens d'une inéquation en divisant chacun de ses membres par un nombre positif,

\dfrac{140}{1+34*0.6^{n}}\leq 140    \Leftrightarrow     \dfrac{1}{1+34*0.6^{n}}\leq 1

équivalent à     1\leq1+34*0,6^n

ce qui est évident puisqu'à droite on ajoute à 1 un nombre positif.

Posté par
alexhdmt
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 15:46

Donc puisque 11+34*0.6n est vrai
cela suffit à démontrer que un136 ?

Posté par
larrech
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 16:03

Oui puisqu'on a travaillé par équivalences en partant de l'inéquation à démontrer : si ...est vrai,  alors... l'est aussi et réciproquement, etc, jusqu'à une relation évidemment vraie.

D'ailleurs, tu pourrais partir de 034*0,6n, ajouter 1 de chaque côté du signe, et remonter les calculs à l'envers, mais se serait un tantinet artificiel

Posté par
alexhdmt
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 16:16

D'accord merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre!

Posté par
larrech
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 16:19

De rien

Posté par
carpediem
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 19:25

salut

en toute logique on ne part pas du résultat à démontrer même en travaillant par équivalence sauf sur son brouillon !!

par contre la logique est de résoudre l'inéquation u_n \le 136 d'inconnue n et de montrer que l'ensemble des solutions est \N

une méthode équivalente est d'étudier le signe de u_n - 136

et ici évidemment u_n - 136 = ... et est évidemment négatif d'après la règle des signes ...

Posté par
larrech
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 05-05-23 à 23:19

Ce n'est peut-être pas ce qu'il y a de plus élégant, mais c'est parfaitement correct.

Posté par
tetras
re : Démontrer limite d'une suite pour tout n 07-05-23 à 07:48

comment avez vous montré que la suite est croissante?
en calculant un+1-un?



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